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习题课 一、数项级数的审敛法 3. 任意项级数审敛法 P320 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 练习: 四、函数的幂级数 * lt1210@ 刘婷 第十二章 级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 时为数项级数; 时为幂级数; 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分审敛法 部分和极限 为收敛级数 Leibniz审敛法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 P320 题2. 判别下列级数的敛散性: 提示: (1) 据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 . 练习题: P320 2 ; 5 故原级数收敛 收敛, , 原级数发散 提示: (2) 故原级数绝对收敛. 因 单调递减, 且 但对 所以原级数仅条件收敛 . 由Leibniz审敛法知级数收敛 ; 因 所以原级数绝对收敛 . ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论 ? 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 . P320 题7. 求下列级数的敛散域: 练习: 解: 因 故收敛域为 级数收敛; 一般项 不趋于0, 级数发散; ? 求部分和式极限 ? 利用已知的幂级数和函数，及逐项求导、求积分的方法来变形出要求的结构 P320 题8. 求下列幂级数的和函数： (4) x≠0 显然 x = 0 时, 级数收敛于0, 根据和函数的连续性 , 有 x = ?1 时, 级数也收敛 . 即得 又 ? 直接展开法 ? 间接展开法 练习: 将函数 展开成 x 的幂级数. — 利用已知展式的函数及幂级数性质 — 利用泰勒公式 解: 1. 函数的幂级数展开法
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