《高等数学教学课件》方向导数与梯度.pptVIP

第七 节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 方向导数与梯度 一、方向导数 定义: 若函数 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 特别: ? 当 l 与 x 轴同向 ? 当 l 与 x 轴反向 解: 例2. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 的方向导数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 l 的方向余弦为 例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 它在点 P 的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数. 在点P 处沿 求函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行 二、梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 记作 (gradient), 在点 处的梯度 向量 解 由梯度计算公式得 故 内容小结 1. 方向导数 ? 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向 l (方向角为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 的方向导数为 2. 梯度 二元函数 在点 处的梯度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三元函数 在点 处的梯度为 练习 1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 ? . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线 1. (1) 在点 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数 M (1,1,1) 处切线的方向向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 求在点处沿从点 到点的方向的方向导数 例 求函数 在点处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？ 在处梯度为0.