《线性代数》（陈建龙等）第五章 二次型.pptVIP

Augustin Louis Cauchy Born: 21 Aug 1789 in Paris, France Died: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France Carl Gustav Jacob Jacobi Born: 10 Dec 1804 in Potsdam, Prussia (now Germany) Died: 18 Feb 1851 in Berlin, Germany Johann Carl Friedrich Gauss Born: 30 April 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany) Died: 23 Feb 1855 in G?ttingen, Hanover (now Germany) * 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 ?? §5.2 §5.3 二次型的系统研究是从 18 世纪开始的 起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论 1801年, 德国数学家高斯: 引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语 法国数学家柯西: 当方程是标准型时, 二次曲面用二次项的符号来进行分类 不太清楚,在化简成标准型时,为何总是得到同样数目的正项和负项 后来, 英国数学家西尔维斯特回答了这个问题: 给出了n个变数的二次型的惯性定律, 但没有证明 这个定律后被雅可比重新发现和证明了 一. 二次型(quadratic form)的定义 二次曲线ax2+bxy+cy2 =1 m(x)2+n(y)2=1 O x y y O x ? 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 ? f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn n元实二次型 aij = aji n ? aijxixj i, j =1 ? 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 n f(x1, x2, …, xn) = ? aijxixj i, j =1 A = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann x = x1 x2 … xn xTAx f 的矩阵 A的二次型 f 的秩: r(A) ? 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 n f(x1, x2, …, xn) = ? aijxixj i, j =1 k1y12 + k2y22 + … +knyn2 ? f 的标准形 (canonical form) xTAx = (y1, y2, …, yn) = k1 0 … 0 0 k2 … 0 … … … … 0 0 … kn y1 y2 … yn ? 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = g(y) 寻求可逆矩阵P, 使得 寻求可逆的线性变换x = Py, 使得 PTAP = k1 0 … 0 0 k2 … 0 … … … … 0 0 … kn ? 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 二. 矩阵的合同 A与B相合或合同(congruent): ?可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 矩阵间的相合关系也是一种等价关系. 记为: A ? ? B. (1) 反身性: A A; (2) 对称性: A B ? B A; (3) 传递性: A B, B C ? A C. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 第五章 二次型 §5.2 化二次型为标准形