质点运动习题.doc

1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 其中为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。 解：1） 由知 消去t可得轨道方程 2） 1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为，的单位为.求：（1）质点的轨道；（2）从到秒的位移；（3）和秒两时刻的速度。 解：1）由可知 消去t得轨道方程为： 2） 3） 1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为，的单位为.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解：1） 2） 1-4. 一升降机以加速度上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。 解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为 （1） 图 1-4 （2） （3） 解之 1-5. 一质量为的小球在高度处以初速度水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的，，. 解：（1） 式（1） 式（2） （2）联立式（1）、式（2）得 （3） 而 落地所用时间 所以 1-6. 路灯距地面的高度为，一身高为的人在路灯下以匀速沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度. 证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为 ，人影中头的坐标为，由几何关系可得 图 1-6 而 所以，人影中头的运动方程为 人影中头的速度 1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为(m)，在 t从0秒到3 若 解的 1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度，斜面对水平的倾角，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。 图 1-8 解：小球落地时速度为 一 建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图 （1） （2） 第二次落地时 所以 1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为，设赤道上重力加速度为. 解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 现在赤道上物体 1-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为，并且与水平面的夹角为.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解：在顶点处子弹的速度，顶点处切向加速度为0。 因此有： 在落地点速度为 1-11. 飞机以的速度沿水平直线飞行，在离地面高时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远? 解：设此时飞机距目标水平距离为有： 联立方程解得： 1-12. 设将两物体和分别以初速和抛掷出去．与水平面的夹角为；与水平面的夹角为，试证明在任何时刻物体相对物体的速度是常矢量。 解：两个物体在任意时刻的速度为 与时间无关，故相对物体的速度是常矢量。 1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为，而气球以速度匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？ 物体在任意时刻的速度表达式为 故气球中的观察者测得物体的速度 代入时间t可以得到第二秒末物体速度 第三秒末物体速度 第四秒末物体速度 1-14. 质点沿在轴向运动，加速度，为常数．设从原点出发时速度为，求运动方程. 解： 1-15. 跳水运动员自跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度，.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。 解：取水面为坐标