106高斯公式散度.ppt

第六节 一、高斯 ( Gauss ) 公式 证明: 设 例1. 用Gauss 公式计算 例2. 利用Gauss 公式计算积分 例4. 二、面积分为与曲面无关的条件 内容小结 练习 设 ? 是一光滑闭曲面, 散 度 定义1、数量场：对全空间或某子区域 中每一点 ，按某种规律都唯一对应一个数量 则称在 上定义了一个数量场； 定义2、向量场 ； 定义3、梯度； 定义4、等值面(等量面) 设空间区域 中定义了一个数量场 ，且U在 中有连续一阶偏导数，则称 中的曲面 为该数量场的等量面 * Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 二、曲面积分与路径无关的条件 高斯公式 曲面积分与路径无关 三、散度 连通区域的类型 设有空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 . 例如, 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 . 既是一维也是二维单连通区域 ; 是二维但不是一维单连通区域 ; 是一维但 定理1. 设空间连通闭区域 ? 由分片光滑的闭曲 ? 上有连续的一阶偏导数 , 下面先证: 函数 P, Q, R 在 面? 所围成, ? 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式) 为XY型区域 , 则 所以 若 ? 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： —————— 高斯公式 由两类曲面积分之间的关系知 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 公式成立的条件 根据Gauss 公式，用三重积分来计算曲面积分 是比较方便的，同时也说明，可用曲面积分来计算三重积分. 其中? 为柱面 闭域 ? 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = (用柱坐标) 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 其中 ? 为锥面 解: 作辅助面 取上侧 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 所围区域为?, 则 利用重心公式, 注意 (先二后一) 例3 其中S是锥面 与平面z=h(0)所围的空间区域的表面, 方向取外侧. 解: 设S围成的区域为V, 由高斯公式, 得 在柱坐标变换下,V可表为： 计 算 太 繁 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面， 用柱坐标 用极坐标 所围区域为 注 ① 应用Gauss 公式计算曲面积分时，要求 曲面必须是封闭曲面，若不封闭，则需要添加 一辅助曲面使其封闭，而在所添加的曲面上， 曲面积分应是容易计算的，用Gauss 公式计算 三重积分，最后减去所补曲面上的积分值。 ② Gauss 公式要求曲面取外侧这一点也不容 忽视，尤其是对非封闭曲面的曲面积分，所添加的辅助曲面的侧一定要和所给曲面的侧一致，若不满足外侧的要求，可利用反向性予以调整 （相差一个负号） ③可以证明在特殊情况下， Gauss 公式就是 Green 公式 例5 （Green 第一公式） 设函数 u ( x , y , z ) 和 v ( x , y , z ) 在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数，证明 证 在Gauss 公式中 令 移项即得Green 第一公式 例6 证 由Green 第一公式 （Green 第二公式） 两式相减得证Green 第二公式 例7 其中S是单位球面 的外侧. 解: 设S围成的区域为V, 由高斯公式, 得 （在球坐标变换下） 例8 其中S是上半球面 的外侧. 其中S是上半球面 的外侧. 解: 设S1是由 与z=0所围成的区域V的表面，方向取外侧 由高斯公式，得 而沿S2：z=0的第二型曲面积分 所以 例9、利用高斯公式计算 其中V是由 所确定的区域. 分析：高斯公式 可化为关于 的第二类曲面积分。 由于曲面 都与xy平面垂直, 故将其 转化为关于xy的第二型曲面积分比较简单. 例9、 利用高斯公式计算 其中V是由 所确定的区域. 解: 由于曲面 都与xy平面垂直, 故可将 转化为关于xy的第二类曲面积分. 设 可取 故R沿V表面S外侧的第二类曲面积分为 例10 计算 解 取下侧 o x