06–07届线性代数试题及答案.ppt

06-07学年线性代数试题 * * 一、填空题（每小题2分，共14分） 1、设A是3阶矩阵，且 ， 是A的伴随矩阵，则： 2、设四元非齐次线性方程组 的系数矩阵A的秩为3，且 是该方程组的两个解，则 方程组 的通解为: 3、已知三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则矩阵 的特征值为： ， 4、设有向量组 问 时向量组 线性相关。 5、设3阶矩阵 ，且 则 6、已知矩阵 与 相似， 则 7、已知实二次型 经正交变换 可化为标准形 ，则a= 二、单项选择题（每小题2分，共10 分） 1、若4阶矩阵A的元素均为1，则A的特征值为（ B ） （A）1，1，1，1； （B）4，0，0，0； （C）1，1，0，0； （D）1，0，0，0. 2、设A为m*n矩阵，且R(A)=mn，则（ D ） （A）A的任意m个列向量线性无关； （B）A经过若干交初等行变换可化为（Em,0)的形式； （C）A中任一m阶子式为零； （D）Ax=0必有无穷多解。 3、设A为n阶方阵，则方阵（ C ）为对称矩阵。 （A）A-AT； （B）CACT（C为任意n阶矩阵） （C）AAT； （D）(AAT)B (B为任意n阶对称矩阵） 4、设A为n阶方阵，且 ，则 （ A ） 5、设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（A ） （A） A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关； （B） A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关； （C） A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关； （D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关； 三、计算行列式（每小题5分，共10 分） 1、 2、 其中 四、完成下列各题（1、2小题3分，3题4分，共10 分） 1、已知n阶矩阵A满足A2+2A-3E=0，试证：A+4E可逆，并求出（A+4E）-1. 2、已知向量组 线性无关，试证向量组： 线性无关。 3、设4阶方阵A满足条件 求A的伴随矩阵 的一个特征值。 五、解矩阵方程（满分7分） 设矩阵 且 ，求矩阵B。 六、（满分9分） 设有线性方程组 问当a,b取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解，并求有无穷多解时的通解。 七、（满分10分） 求一正交变换 ，将二次型 化为标准形。 八、（每小题5分，满分10分） 1、设线性方程组 的系数矩阵A，三阶 矩阵B不等于零，且AB=0，试求 的值，并证明 2、设矩阵 ，矩阵 ，其中k为 实数，E为3阶单位阵，试求对角矩阵 ，使B与对角阵 相似，并求k为何值时，B为正定矩阵。 四、2）证：设有数 使得 即： 整理得： 国为向量组 线性无关，所以 由此求方程组的系数行列式 只有惟一零解，所以线性无关。 四、3）解：由 若 是 A的一个特征值，则 是 的特征值。 可知 是A的一个特征值。 所以 而因为 故 从而有 是 的一个特征值。 第七题、 八、1）解： 并且 因为1）可知