06–代数结构–6-1–6-2.pptVIP

第六章 代数结构 代数结构 代数结构，也称为代数系统或代数，是指定义有若干运算的集合。例如：整数集合，在其上定义乘法和加法，就成为一个代数结构。 本章主要给出代数结构的一般定义和实例，介绍代数结构的基本性质以及同态、同构、同余等主要概念。 第一节 代数结构的定义 一、代数结构的定义 一个代数结构 S, f1, f2, …, fm 通常由两个部分组成： 一个集合S ，叫做代数的载体； 定义在载体上的运算f1, f2, …, fm 代数结构 一个集合，叫做代数的载体 载体，是我们将要处理的数学目标的集合如整数集合、实数集合、符号集合等 一般不讨论载体是空集合的代数结构 代数结构 定义在载体上的运算 定义在载体上的运算是一个函数 f: Sn ? S称 f 是一个n元运算。n是自然数，称为运算的元数或阶 n=1时，称f为一元运算。如：对一个整数x求绝对值|x| n=2时，称f为二元运算。如：对两个实数x和y求和x+y n=m时，称f为m元运算。如：语句if x then y else z是一个以x, y, z作为运算对象的三元运算。 代数结构 定义在载体上的运算 n元运算是一个闭运算，即经过运算后产生的象仍在同一个集合中 封闭性表明了n元运算与一般函数的区别。 代数结构 例：一架自动售货机，能接受一圆硬币和五圆纸币，而所对应的商品是桔子水、可口可乐、冰激淋。当人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机将按照下表所示供应相应的商品 代数结构 代数结构 设S是非空集合，且fi是S上的ni元运算，其中i=1,2,…,m，由 S 及f1, f2, …, fm 组成的结构，称为代数结构，记做 S, f1, f2, …, fm 集合S的基数|S|定义代数结构的基数如果S是有限集合，则称代数结构是有限代数结构否则便称作无穷代数结构。 代数结构 代数结构 有时还在代数结构的表示中加入特异元素k，记做 S, f1, f2, …, fm , k 载体中的特异元素，也叫做代数常数有些运算存在么元和零元，它们在运算中起着特殊的作用 代数结构示例 例6.1.1： 整数集合Z，以及在Z上的加法+、减法-可以构成一个代数结构（因为运算加法和减法在Z上是封闭的）记做 Z, +, - 非空集合S的幂集P(S)，及其上的运算：交(?)、并(?)、补(’)，可以构成一个代数结构记做 P(S), ?, ?, ’ 代数结构示例 设字母表 ? 是由有限个字母组成的集合由 ? 中的字母组成的有序集合叫做 ? 上的串串中的字母个数m称为串的长度。m=0时，叫做空串∧ 。用?*表示 ? 上的串集合，在 ?*上定义一个连接运算若a, b ? ?*，则 a b = ab ? ?* 。则 ?*, 是一个代数结构。并且 ?* - ∧, 也是一个代数结构。 同类型的代数结构 二、同类型的代数结构 称两个代数结构是是同类型的，首先需要满足： 有相同的构成成分两个代数结构 S, f1, …, fm 和 T, g1, …, gm 有相同个数的运算（和特异元素），且 fi 和 gi 的元数相同 同类型的代数结构 例6.1.2： 代数结构 N, ×与 Z, - 具有相同的构成成分因为它们都有一个二元运算 代数结构 {F, T}, ∧, ∨ 与 P(S), ? , ?具有相同的构成成分，它们都具有两个二元运算 同类型的代数结构 根据一个代数的公理推出的一切定理，对与之同类型的代数结构都成立*。 例6.1.2 代数结构N, +, 0具有下述公理 a + b = b + a ( a + b ) + c = a + ( b + c ) a + 0 = a 则代数Z, ×, 1， P(S), ?, ? 与之是同类型的。上述公理对这两个代数结构也成立。 同类型的代数结构 例6.1.3 代数结构 Z, + , - , 0 具有下述公理（其中“-”是个一元运算，表示求相反数） a + b = b + a ( a + b ) + c = a + ( b + c ) a + ( - a ) = 0 a + 0 = a 代数 Q, + , - , 0 和 R, + , - , 0 是与之同类型而 P(S), ? , ’ , ? （’ 表示集合的补）与之不同类型，因为公理3)对其不成立。 同类型的代数结构 称两个代数结构是是同类型的，需要满足： 有相同的构成成分两个代数结构 S, f1, …, fm 和 T, g1, …, gm 有相同个数的运算（和代数常数－－即特异元素），且 fi 和 gi 的元数相同 有一组相同的称为公理的规则（“公理”指用载体中的元素和代数运算符号写成的方程） 子代数 三、子代数 设 S,