07第七章向量代数与空间解析几何.ppt

第七章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 第二节 向量的乘法运算 第三节 平面与直线 第四节 曲面与曲线 4. 向量积的坐标表示式 第三节 平面与直线 一、点的轨迹方程的概念 图 7-18 S x O y z 1.曲面及其方程 T O z y x 图 7-19 2 . 空间曲线及其方程 二、平面及其方程 O y x n M z 图 7-20 M0 ? 平面法向量的概念 凡是垂直平面的向量都称为平面的法向量，显然，一个平面的法向量有无穷多个，它们之间相互平行. 1.平面的点法式方程 2.平面的一般方程 下面讨论一些特殊情况： 三、 空间直线及其方程 1. 直线的一般方程 2. 直线的对称式方程与参数方程 O y M z x s 图7-21 M0 四、平面与直线间的夹角 图7-22 l n l1 ? 五、点到平面的距离公式 第四节 曲面与曲线 一、几种常见的曲面及其方程 1. 球面 向量在数学、物理、力学和工程技术中有广泛的应用.本章前一部分侧重学习如何用代数的方法表示向量及怎样用代数的方法进行向量的运算. 空间解析几何这门学科，把代数方程与空间几何图形联系起来，是数形结合的典范.本章第二部分，学习一些空间解析几何的基本知识. 第一节 向量及其线性运算 一、 空间直角坐标系 z x y 图7—1 任意两条坐标轴确定的平面称为坐标面.由x轴和y轴，y轴和z轴，z轴和x轴所确定的坐标面分别叫做xOy面，yOz面和zOx面.三个坐标面把空间分隔成八个部分，每个部分称为一个卦限，依次叫第一至第八卦限. Ⅶ O x y Ⅰ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ Ⅱ Ⅲ z 图7-2 动画演示 z y O P Q R x 图7－3 x y z 图7－4 二、 向量与向量的线性运算 图7－5 a a θ b 图7-6 C b a o A B a b 图7-7 A O C 图7 - 8 -b b B a 2 向量的线性运算 B A C 图7 - 9 D O 三、 向量的坐标表达式 z y O P Q R x M 图7 - 10 A 1. 向量的坐标表达式 y O z x a 图7－11 2 用坐标表示向量的线性运算 3.用坐标表示向量平行的充要条件 四、 用坐标表示向量的模和方向余弦 y z x P Q R 图7－12 M2 M1 第二节 向量的乘法运算 F s ? 图7-13 1. 数量积的定义 图7－14 B a b O 2. 数量积性质 3 数量积的坐标表示式 二 、向量的向量积 O A P F (a) O F M (b) A 图7-15 1.向量积的定义 b a×b a 图7－16 b a 图7-17 物理力学中常会遇到由两个已知向量按上述方式确定另一个向量，数学上称这个向量是两个已知向量的积. 3. 向量积的性质 1. 空间直角坐标系 在空间内取定一点O，过点O作三条具有相同长度单位，且两两互相垂直的x轴，y轴，z轴，这样就称建立了空间直角坐标系.点O称为坐标原点，x轴，y轴，z轴统称为坐标轴，又分别叫做横轴，纵轴，和竖轴.一般规定x轴， y轴，z轴的正向要遵循右手法则， 即以右手握住z轴，当右手的四个 手指从正向x轴以角度转向正向 y轴时，大拇指的指向是z轴的正向. 2. 空间内一点的坐标 设点M是空间一点，过点M分别作与三条坐标轴垂直的平面，分别交x轴，y轴，z轴于P，Q，R.设点P，Q，R在三条坐标轴的坐标依次为x，y，z，虽然点M与有序数组x，y，z之间存在一一对应的关系（图7-3）.有序数组x，y，z称为点M的坐标，又分别叫做横坐标，纵坐标，和竖坐标.点M可用坐标点表示为. 3 空间两点间的距离公式 设点和是空间两点，从图7-4容易看到，长方体的对角线的长的平方等于三条棱长的平方和，由此得点 和 间的距离公式为 . 例1求点到三个坐标面的距离. 1 向量的概念 既有大小，又有方向的量称为向量或矢量.几何上常用的有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的起点和终点分别叫做向量的起点和终点.以点A为起点，点B为终点的向量记作 .向量也常用一个字母表示，如等. 将两个非零向量 和 平移到 同一起点，它们所在射线间的夹角 称为向量 与 的夹 角（图7-5），记作. 向量的加法，数与向量的乘法，统称为向量的线性运算. 向量的线性运算有以下性质： 3 向量平行的充分必要条件 例3 已知平行四边形的对角线向量，，试用向量表示向量 和 . 解 设，的交点为O（