1-2希尔伯特公理体系.ppt

《初等几何研究》 §1.2 希尔伯特公理体系 * * 内江师范学院 数学与信息科学学院 主讲教师：王亚雄 TELEM 在历代数学家所积累的 极其丰富的公理资料基础上， 德国数学家希尔伯特(Hilbert， 公元1862~1943)完成了几何 学的基础构造工作．他于18 99年出版名著《几何基础》， 建立了几何学完善的公理体 系——“希尔伯特公理体系” 希尔伯特的公理体系建立在基本概念 和公理的基础上，基本概念由两部分组成： 一部分是几何学研究对象(也称基本元素), 如点、线、面等；另一部分是元素间的基 本关系，如结合关系、合同关系等．公理 共有5组20条．希尔伯特公理体系满足他 自己提出的三个基本要求，即相容性（公 理间互不矛盾）、独立性（每条公理都不 能从其余的公理推出）、完备性（公理体 系所有模型都是互相同构的）． 基本元素：点，线，面。 基本关系：结合关系（如点在直线上，直线 在面上等），顺序关系（如一点在两点之间 ， 一射线在两射线之间等），合同关系（ 如两线段合同，两角合同等） 基本公理： Ⅰ、结合公理8条 几何基本元素“点”、“直线”、“平面”之 间的结合关系就是：“点在直线上”可以说成 “直线通过点或直线含有点或点属于直线”； 点和平面也有这种关系，结合公理要求满足 8条公理： （1）通过不同两点必有一条直线． （2）通过不同两点的直线至多有一条． （3）每一条直线上至少有两点；至少有三 点不在同一条直线上． （4）通过不共线的三点必有一个平面；每 一个平面上至少有一点． （5）至多有一个平面通过不共线的三点． （6）若一直线有不同两点在某个平面上， 则该直线上所有点都在这平面上． （7）若两个平面有一个公共点，则至少还 有一个公共点． （8）至少有四个点不同在一个平面上． Ⅱ、顺序公理4条 直线上的点与点之间有一种“介于”关系，通 常用“介于……之间”的语言来表示．“介于” 关系表示点与点之间的“顺序关系”，它们必 须满足4条顺序公理． （1）若点B介于两点A 、C之间，则A 、B 、C是同一直线 上的三个不同点，并且B也介于C和A之间． （2）对于任意不同的两点A和B，直线AB上至少有一点C 存在，使得B介于A和C之间． （3）在共直线的不同三点中，至多有一点介于其余两点 之间． （4）巴士公理．设A、B、C是不在同一直线上的三个点， a是平面ABC上的一条直线，它不通过A、B、C中的任一 点．若a有一点介于A和B之间，则a必须还有一点介于B和 C之间或A和C之间． Ⅲ、合同公理5条 根据“介于……之间”的关系和顺序公理，可以 定义“线段”、“射线”、“角”等概念，线段与线段之 间具有一种关系，这种关系用词语“合同”或“相等” 来表示．合同关系必须满足5条公理： （1）若A、B是直线a上两点， 是该直线或另一 直线 上一点，则在直线 上点 的任意任意指定 的一侧，总存在一个而且只有一个点 ，使得线段 合同于（或等于）线段 ． （2）若线段 合同于 ， 合同于 ，则 合同于 ．即若 , ,则 ． （3）若 点介于 和 之间， 介于 和 之间， 且 ， ,则 ． （4）设平面 上给定由点 发出的射线 、 所成 的角 ，在平面 上给定直线 并指定其一 侧，设 是 上从 点发出的射线，则 上 指定 的一侧存在由 发出的唯一射线 ,使得 ，又 ． （5）设 、 、 是不在同一直线上的三点， 、 、 也不在同一直线上．若直线 ， ， 且 ，则 , ． Ⅳ、连续公理2条 （1）阿基米德公理．设 和 是任意两条线段， ， 则在直线 上必定存在着有限个点 使得 介于 和 之间， 介于