322最大值最小值问题课件(北师大选修2-2).ppt

[一点通]　利用导数解决优化问题的一般步骤如下： (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y＝f(x)． (2)求函数f(x)的导数f′(x)，并解方程f′(x)＝0，即求函数可能的极值点． (3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案． 7．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为 ________dm时最省材料． * * * 第三章 §2 2.2 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 2．2　最大值、最小值问题 1．问题：如何确定你班哪位同学最高？ 提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学． 2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像． 问题1：试说明y＝f(x)的极值． 提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值， f(x2)，f(x4)为函数的极小值． 问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？ 提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的． 问题3：根据问题2回答函数y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能在哪些点取得． 提示：在极值点或端点中． 1．最值点 (1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 f(x0)． (2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 f(x0)． 2．最值 函数的 与 统称为最值． 不超过 不小于 最大值 最小值 (1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上有最大值与最小值． (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值． (3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个． [例1]　求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3在区间[－3,2]上的最值． [思路点拨]　利用导数确定极值点，比较极值与端点函数值的大小，确定最值． [精解详析]　法一：f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0， 得x＝－1，x＝0，x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60 ↗ 极大值4 ↘ 极小值3 ↗ 极大值4 ↘ －5 ∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60； 当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4. 法二：∵f(x)＝－x4＋2x2＋3 ∴f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0. 解得：x＝－1或x＝0或x＝1. 又f(－3)＝－60，f(－1)＝4，f(0)＝3， f(1)＝4，f(2)＝－5， 所以当x＝－3时，f(x)有最小值－60. 当x＝±1时，f(x)有最大值4. [一点通]　求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数的导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的全部实根x0； (3)将f(x0)的各个值与f(a)，f(b)进行比较，确定f(x)的最大值与最小值． 1．函数f(x)＝x3－3x2＋6x－10在区间[－1,1]上的最大 值为________． 解析：因为f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋30， ∴函数f(x)在区间[－1,1]上单调递增， ∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值f(1)＝－6. 答案：－6 x 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) 0 ↗ 极大值ln 2－ ↘ ln 3－1 [例2]　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在