1.3–1辗转相除法和更相减损术.ppt

* 1.3 算法案例 第一课时 算法案例之求最大公约数 求以下几组正整数的最大公约数。 (注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n）=n。用（m,n）来表示 m和n的最大公约数。) （1）（18，30） （2）（24，16） （3）（63，63） （4）（72，8） （5）（301，133 ） 解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 1 2 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。 得：18和24最大公约数是：2×3＝6 想一想，如何求8251与6105的最大公约数？ 思考1：求18与24的最大公约数： 6； 8； 63； 8； 7； 短除法 知识探究（一）:辗转相除法 思考2:对于8251与6105这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难.注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？ 思考3:又6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等.重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？ 2146=1813×1+333， 148=37×4+0. 333=148×2+37， 1813=333×5+148， 8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， r n m 6 5 4 3 2 1 次数 8251和6105的最大公约数 解： 8251=6105×1+2146 6105=2146 ×2+1813 2146=1813 ×1+333 1813=333 ×5+148 333=148 ×2+37 148=37 ×4 （8251，6105） =（6105，2146） =（2146，1813） =（1813，333） =（333，148） =（148，37） =37 关系式m=np+r中m,n,r得取值变化情况 8251 6105 2146 6105 2146 2146 1813 1813 333 1813 333 148 148 333 37 148 37 0 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 m = n × q ＋ r 用程序框图表示出右边的过程 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 否 思考5:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.一般地，用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？ 第一步，给定两个正整数m，n(mn). 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等 于m；否则，返回第二步. 思考5:该算法的程序框图如何表示？ 开始 输入m，n 求m除以n的余数r m=n n=r r=0？ 是 输出m 结束 否 思考6:该程序框图对应的程序如何表述？ INPUT m，n DO r=m MODn m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 开始 输入m，n 求m除以n的余数r m=n n=r r=0？ 是 输出m 结束 否 思考7:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？ 开始 输入m，n 求m除以n的余数r m=n n0？ 否 输出m 结束 是 n=r INPUT m，n WHILE n0 r=m MODn m=n n=r WEND PRINT m END 练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数. (53) 20723=4081×5+318; 4081=318×12+265; 318=265×1+53; 265=53×5+0. 开始 i=n+1 输入：m,n m MOD i=0且n MOD i=0? i=i-1 输出：i 结束 Y N nm? t=n,n=m,m=t N Y 穷举法（也叫枚举法） 步骤： 从两个数中较小数开始 由大到小列举，直到找到公 约数立即中断列举，得到的 公约数便是最大公约数 。 穷举法 知识探究（二）:更相减损术 思考1:设两