1.3第一课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法.ppt

1.利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数. 20723=4081×5+318; 4081=318×12+265; 318=265×1+53; 265=53×5+0. (53) 2.用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当 x=5时的值. 解:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5 v2=v1x-4=5×5-4=21 v3=v2x+3=21×5+3=108 v4=v3x-6=108×5-6=534 v5=v4x+7=534×5+7=2677 所以,当x=5时,多项式的值是2677. 1.比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显. （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0而得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到. 2.评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法. 昨天的努力就是今天的收获，今天的努力就是未来的希望。岁月不饶人，不妨现在就行动！ * * * * * * * * * * * * * * 1.3 算法案例 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 1.理解辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析，解决一些与其相关的问题； 2.能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序. 1. 回顾算法的三种表述： 自然语言 程序框图（三种逻辑结构） 程序语言（五种基本语句） 2.思考： 小学学过的求两个数最大公约数的方法？ 先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 辗转相除法 （欧几里得算法） 思考1:求两个正整数的最大公约数 （1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数 25 （1） 5 5 35 7 49 （2） 7 7 63 9 所以，25和35的最大公约数为5. 所以，49和63的最大公约数为7. 除了用这种方法外还有没有其他方法？ 思考2：算出8251和6105的最大公约数. 第一步：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146 结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了. 第二步：对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数. 为什么？ 完整的过程: 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数. 例1 用辗转相除法求225和135的最大公约数. 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数. 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 思考3：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？ S1：用大数除以小数 S2：除数变成被除数，余数变成除数 S3：重复S1，直到余数为0 思考4：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？ 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构. 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 m=n×q＋r 用程序框图表示出右边的过程 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 否 辗转相除法（欧几里得算法） （1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数.若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数. （2）算法步骤 第一步：输入两个正整数m,n(mn). 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；