10.2一阶微分方程–12.ppt

*/26 微积分十② 解： 求导得: 令 则 Basic concept of differential equations 三、齐次方程 一、一阶微分方程的形式 四、一阶线性微分方程 微 积 分 电 子 教 案 二、可分离变量的微分方程 3.2、齐次方程及其解法 ⑷解法： ①化标准形式；②变量替换 ； ③分离变量；④求通解；⑤回代。 ⑵标准形式： ⑶常见形式：如 化为标准形式 ⑴定义:微分方程 中,若 为0次齐次函数, 则称该方程为齐次微分方程, 简称为齐次方程. ⑴—关于y的微分方程 代入原方程, 得： ⑵—关于u的微分方程 分离变量,得： 积分、整理得通解： 回代得： 是⑴的解。 解： 分离变量得： 例1. 求微分方程 的通解. 代入原方程,得： 两边积分得： 故原方程的通解为： 例2. 求 的通解. 分离变量得： 解：原方程为： 代入原方程, 得： 积分得: 即通解为： 4.1、 定义 如果微分方程中未知函数及其导数均是一次的称为线性微分方程，简称为线性方程。 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的。 上方程称为非齐次的。 例如 线性的； 非线性的。 4.2、线性齐次方程的解法 (使用分离变量法) 将原方程化为 分离变量，得： 两边积分得： 齐次方程的通解为 ——公式 例3. 求通解 解： 故得通解为： 4.3、线性非齐次方程解法 ⑴讨论 首先比较 与齐次方程 可以看出:等式左边一模一样,右边一为0,一为Q(x). 后者通解为： 有理由猜想前者解为 ò - = dx x P e x C y ) ( ) ( 把齐次方程通解中的 C 换成 x 的未知函数C(x),即 (C(x)为待定函数) 验证：将 代入 求出 ⑴常数变易法 同时代入方程 两边，得： 积分得： 故原方程的通解为 ④写出原方程的通解. 对应齐次方程为 ①求出对应的齐次方程的通解 ②将该通解中的任意常数 C 变易为函数 C(x); ③代入原方程确定C(x); 即设 为原方程的解; ⑵常数变易法步骤 ) ( ) ( x Q y x P dx dy = + 0. ) ( = + y x P dx dy 解： 将原方程化为标准方程 例4. 用常数变易法及公式法分别求写方程的通解. ⑴常数变易法 原方程对应的齐次方程为 其通解为 由常数变易法，设原方程的解为 两边求导,得： 将y、y ?代入原方程,得： 故通解为 ⑵公式法 原方程为： 代入公式, 得： 解： 例5 求xy?+y=sinx在 下的特解。 0 ) 2 ( = p f 原方程化为 一阶线性非齐次方程 代入初始条件 0 ) 2 ( = p f 得： ∴C=0 故所求解为： ★例6、求方程(2x+y3cosy)dy -ydx=0的通解。 解:先将原方程化为正规型 分析:不是分离变量?不是齐次方程?不是线性方程? 将上式改写为 这是以y为自变量,以x为未知函数的一阶线性非齐次方程. 例7、求方程 (y2-6x)dy-2ydx = 0 的通解。 解：先将原方程化为正规型 将上式改写为 (同上例) */26 微积分十②