10–1多元函数基本概念.ppt

回忆一元函数的极限. 设 y = f (x), 当 x 不论是从 x0的左边 还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A. 表示 如图 x y A 0 f (x) f (x) y = f (x) x0 x x x ? x0 就是?? 0, ??0. 当0|x – x0| ? 时, 有|f (x) – A | ?. 三、多元函数的极限 设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图 如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A, 则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限. D z = f (x, y) X X M X0 A y z x o f (X) 类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X)– A | ? 刻划. 而平面上的点 X = (x, y) 无限接近于点 X0 = (x0, y0) 则可用它们之间的距离 设二元函数 z = f (X) = f (x, y). 定义域为D. X0= (x0, y0)是 D 的一个聚点. A 为常数. 若 ?? 0, ?? 0, 当 对应的函数值满足 | f (X)– A | ? 则称 A 为z = f (X)的, 当 X 趋近于X0时的二重极限. 记作 或 也可记作 f (X) ? A(X ? X0), 或 f (x, y) ? A (x ? x0, y ? y0 ) 定义 注1. 定义1中要求X0是定义域D的聚点, 这是为了保证 X0的任意近傍总有点X使得f (X)存在, 进而才有可能判断 | f (X)– A | 是否小于 ? 的问题. 若D是一区域. 则只须要求 就可保证 X0 是D的一个聚点. 另外, 0 |X ? X0 | ? 表示 X 不等于X0. 2. 如图 x x0 x x x o X0 X D 对二元函数 f (X), 如图 有 ? 点X以任何方式趋近于X0时, f (X)的极限都存在且为A. D z = f (x, y) X f (X) M X0 A y z x o 因此, 如果当X以某几种特殊方式趋于X0时, f (X)的极限为A. 不能断定二重极限 若X以不同方式趋于X0时, f (X)的极限不同, 则可肯定二重极限 3. 极限定义可推广到三元以上函数中去, 且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同. 例3 用定义证明: 证: ?? 0, ? 时, 有 | f (x, y) – 0 | ? ). 考虑 | f (x, y) – 0 | (要证?? 0, 使得当 要使 | f (x, y) – 0 | ? , 只须 即 | f (x, y) – 0 | ? 故 例4 设f (x, y) = 证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在. 证: 由注2知, 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可. 考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形. 如图 对应函数值 x o y E-mail: xuxin@ahu.edu.cn §1 多元函数的基本概念 一、多元函数的概念 以前我们接触到的函数 y = f (x)有一个特点, 就是只有一个自变量, 函数 y 是随着这一个自变量的变化而变化的. 我们称为一元函数. 如 y = sinx, y = x2 + 3cosx 等. 所谓多元函数, 直观的说, 就是有多个自变量的函数. 函数 y 随多个自变量的变化而变化. 圆柱体体积 V = ? r 2 h 体积 V 随 r, h的变化而变化. 一对数(r, h), 就有唯一的一个V与之对应. 或者说, 任给 长方体体积 V = xyz V 随 x, y, z 的变化而变化. 一组数(x, y, z), 就有唯一的一个V与之对应. 或者说, 任给 这些都是多元函数的例子. 有二个自变量的称为二元函数. 有三个自变量的称为三元函数, …, 有 n 个自变量的称为 n 元函数. 与一元函数类似, 我们有 二元函数定义 设D是xy平面上的一个点集,即 D ? R2, 若对任意的点 X = (x, y)?D ? R2, 按照某个对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z 与之对应, 则称 f 是定义在 D 上的二元实值函数, 记作 f : D ? R, X = (x, y) ? z 称 z 为点 X = (x, y) 在 f 下的像, 记作 f (X) 或 f (x, y), 即z = f (X ) = f (x, y)