10几何向量和线性运算3.1–3.2.3向量积.ppt

3.2 向量的数量积,向量积和混合积 例3 * 哈工大数学系代数与几何教研室 王 宝 玲 本章内容提要 ? 几何向量的线性运算 ? 空间中的平面与直线 数量积、向量积、混合积 几何向量的坐标，用坐标表示 几何向量的运算. ? 向量代数历史 数学历史 数学萌芽 (公元前600年以前) 初等数学 (公元前600年到17世纪中叶 ) 变量数学(17世纪中叶到19世纪20年代) 数学发展的第三个时期,是变量数学时 期.它以笛卡尔解析几何的建立为起点. 笛卡尔(Descartes, 1596年3月31日生于法国) 解析几何是利用代数方法来研究几何图形性 质的一门学科. 平面解析几何 空间解析几何 主要是笛卡尔和费尔马(Fermat)共同创立. 通过在空间中建立坐标系,将点用坐标表出, 然后图形的几何性质可以用坐标之间的关系, 特别是代数关系来表示. 解析几何为微积分的出现创造了条件. “向量代数”的应用: 作为研究（空间）解析几何的工具； 研究数学中其它一些分支、力学及其 它学科的工具； ? 向量代数引言 3.1 向量及其线性运算 3.1 向量及其线性运算 定义 有大小又有方向的量称为(几何)向量， 记为： ?, ?, ?, …. 模: (长度、大小) A B 几何表示:用有向线段 代数表示: 用坐标 (x,y,z) a = b ?把起点平移在一起,则完全重合. 方向相同,大小相等. 3.1.1 向量的基本概念 自由向量:与起点无关的向量. 几种特殊的向量 单位向量: 负向量: a 的负向量与a 大小相等方向相 反,记为 -a . 零向量: ,记为0. 零向量的方向任意或不确定. 两向量共线: a ∥b 同向或反向的向量. 两向量共面:平行与同一平面的向量. 任意两向量都共面. 一、 向量的加法 分析一下物理中的两种有方向的量: 力的合成,可以引入向量加法的概念. 加法： b a a+b a b a+b 2.三角形法则 1.平行四边形法则 首尾相连,a起点 指向b终点 c = a+b 3.1.2 向量的线性运算 a b c d e e = a + b + c + d 3.多边形法则：n个向量之和,只要把它们 相继地首尾连接后，从第一个向量的起点 到最后一个向量的终点的向量,即为和向量. 如 4.向量加法运算的性质 (1) 交换律: a + b = b+ a (2) 结合律: (a + b) + c = a +(b+ c) (3) 零向量: a +0 = 0 + a = a (4) 反向量: a +(- a) = (- a)+ a = 0 5.向量的减法: a - b = a +(-b) b 两起点置一处, b终点指向a终点 a a - b (1) 1a = a, (-1)a = -a (2) k(la)=(kl) a (3) (k+l)a= ka+la (4) k(a+b)=ka + kb 2. 数乘运算的性质: 1. 数乘: ka ∥a 长度 方向 同向 反向 不定 规定: 若a = 0，? k， ka = 0 若k = 0， ? a， ka = 0 二.向量的数乘 3.单位向量: a≠0 ,a0 = a |a| ,为与a同向 的单位向量. a = a a0 4.平行:（共线） 与 都没有意义. 注 （1） （2） a b无意义. （3） 如果k ?0 ?a = (-l/k)b ?a, b共线; 如果l ?0 ? b = (-k/l)a ?a, b共线. 5.两个向量a,b共线?存在不全为零的数 （平行）k,l 使ka + l b = 0. 证 a, b 共线 a = kb或b = ka, ka + l b = 0, k, l 不全为零 ?存在 k 使得 ka + l b = 0. 6.三个向量a1,a2, a3共面?是存在不全为零 的数k1, k2, k3使 证明思路 必要性: 分两种情况 其中有平行向量 其中两两不平行 a2 a3 a1 充分性: 不仿设k1不为零, 则有 a1= (-k2/k1)a2 +(-k3/k1)a3 例1 平行四边形ABCD(如图), 试用a、b 表示 . 和 解 因为平行四边形的对角线互