11–6多元函数微分学应用11.4.17.ppt

1.空间曲线的切线与法平面 (1) 曲线方程为参数方程的情形 或 例2 (1) 形如 F(x, y, z)=0 的曲面的切平面与法线 切平面方程 例5 例6 (2) 形如 z = f (x, y) 的曲面的切平面与法线 例7 例8 注. 内容小结 ② 2. 设 f ( u ) 可微, 备用题 例1 2. 求曲线 3. 与定向量平行, 分析 只须证曲面上任一点处的法向量与 定向量垂直. 取定向量为 则 故结论成立 . 的所有切平面恒 1. 证明曲面 问题 观察一下,定向量是什么? 证 曲面上任一点的法向量 解 求空间曲线的切线（或法平面）： 一求切点；二求切向量. * 第十一章 第六节 多元函数微分学的应用 1.空间曲线的切线与法平面 2. 曲面的切平面与法线 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在 极限位置. 空间光滑曲线?在点 M 处的切线为此点处割线的 该点的法平面. Γ上点 处的切线的方向向量 Γ上点 处的切线方程 称为曲线Γ的切向量 不全为0, 法平面方程 注. 若光滑曲线Γ表示为： 切线方程： 法平面方程： ? ： (2) 曲线方程为一般方程的情形 切线方程： 法平面方程为： 解 切线方程: 法平面方程: 例1 求空间曲线的切线（或法平面）： 一求切点；二求切向量. 切线方程: 法平面方程: 解 例3 求曲线 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解法1 则 切向量 点 M ( 1,–2, 1)， 切向量： 切线方程 即 法平面方程 即 若光滑曲面? ： 可以证明： ? 上通过点M0, 且在点M0处有切线的任一曲线在该点的切线都在同一平面上， 该平面称为M0处的切平面。 M0 t0 2.曲面的切平面与法线 过 M0点且与切平面垂直的直线称为曲面在该点的法线. M0 t0 曲线在M0 处的切向量： 在曲面?上任取一条通过点M0 的曲线 证 M0处任一曲线在该点的切线都在同一平面上. 法线方程 —— 曲面F(x, y, z)= 0在点M0的法向量 例4 求椭球面 在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解 所以在球面上点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程 法向量 令 证 解 设 为曲面上的切点, 则切平面的法向量： 若光滑曲面? ： 曲面z=f (x,y)在点M0的法向量 法线方程: 一求切点, 二求 曲面的法向量. 解 解 求光滑曲线 切向量的第二种方法： 例3 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程 解法2 即 曲线的切向量： 求曲线 的法向量分别为： 法平面方程 即 1. 空间曲线的切向量 （1）参数式情况. 空间光滑曲线 切向量 空间光滑曲线 切向量 ① （2）一般式情况. 2. 曲面的法向量 （1） 曲面方程为隐式 其法向量 （2） 曲面方程为显式 其法向量 其中 思考与练习 1. 如果平面 与椭球面 相切, 提示: 设切点为 则 (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上) 证明 曲面 上任一点处的 切平面都通过原点. 提示: 在曲面上任意取一点 则通过此 证明原点坐标满足上述方程 . 点的切平面为