12届高中数学1.3.2.1余弦函数的图象与性质课件新人教B版必修4.ppt

1.3.2 余弦函数的图象与性质 * * 利用五点描图法画出y=sinx的图象, 图象向两边延伸，得 1. 余弦函数的图象 把函数y=sinx的图象，向左平移 单位即得到y=cosx的图象 。 余弦函数的图象叫做余弦曲线。 通过观察图象，我们不难发现，起着关键作用的点是五个点：(0，1)，( ，0)、(π，－1)，( ，0)，(2π，1). 2. 余弦函数的性质： (1) 定义域： y=cosx的定义域为R (2) 值域： ① 由单位圆中的三角函数线，得结论： |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论： 所以y=cosx的值域为[－1，1]； ②对于y=cosx 当且仅当x=2k? k?Z时 ymax=1， 当且仅当x=2k?+? k?Z时 ymin=－1， ③观察R上的y=cosx的图象可知 当2k?－ x2k?+ (k?Z)时， y=cosx0 当2k?+ x2k?+ (k?Z)时， y=cosx0 (3).周期性：（观察图象） ①余弦函数的图象是有规律不断重复出现的； ②规律是：每隔2?重复出现一次（或者说每隔2k?,k?Z重复出现） ③这个规律由诱导公式 cos(2k?+x)=cosx也可以说明余弦函数的最小正周期是T=2π. (4). 奇偶性 由诱导公式:cos(－x)=cosx 得余弦函数是偶函数。 (5).单调性 余弦函数在每一个闭区间[2kπ, 2kπ+π], k∈Z上是减函数； 在每一个闭区间[2kπ+π, 2kπ+2π],k∈Z上是增函数。 例1、求下列函数的最值: （1）y=－3cosx+1； （2） 解：(1) ∵ －1≤cosx≤1， ∴ －2≤－3cosx+1≤4. 即ymax=4，ymin= －2. （3） (2) 解：(2) ∵ －1≤cosx≤1， 当cosx=－1时，ymax= ∴ 当cosx= 时，ymin=－3， （3） 解：因为cosx∈[－1, 1]，所以cos2x∈[0，1]. 当cosx=0时，ymax=1; 当cosx=1或cosx=－1时，ymin= 例2、判断下列函数的奇偶性： （1）y=cosx+2； （2）y=cosxsinx. 解：（1）f(－x)=cos(－x)+2 =cosx+2=f(x), ∴ 函数y=cosx+2是偶函数. (2) f(－x)=cos(－x)sin(－x) =－cosxsinx=－f(x). ∴ 函数y=cosxsinx是奇函数. 例3、求函数 的最小正周期. 解：因为 ∴ 原函数的最小正周期是6π. 例4、求函数 的单调区间。 解：当 时， 即 时，原函数为减函数； 当 时， 即 时，原函数为增函数； 例5. 下列各题中，两个函数的图象之间有什么关系？ （1）y=2cosx与y=cosx; （2）y=cos2x与y=cosx; （3） 与y=cosx; （4） 与y=cosx. 练习 1.下列说法中不正确的是 ( ) (A) 正弦函数、余弦函数的定义域都是R，值域都是[－1，1]； (B) 余弦函数当且仅当x=2kπ( k∈Z) 时，取得最大值1； (C) 余弦函数在[2kπ+ ,2kπ+ ]( k∈Z)上都是减函数； (D) 余弦函数在[2kπ－π, 2kπ]( k∈Z)上都是减函数 C 2.函数f(x)=cosx－|cosx|的值域为 ( ) （A）{0} (B) [－1,1] (C) [0,1] (D) [－2,0] D 3