18代数学基本Cayley理论.ppt

变换群和置换群 及Cayley定理 变换群和置换群的概念 变换群 置换群：是一类特殊的变换群 置换的表示 α= β= αβ= (1234)(56) α= β= (132) (1432) αβ= (1423) 同构的概念 有些群虽然来源不一样，但从群的代数结构与性质上看，它们是完全相同的，这就引入了同构的概念。 同构映射使两个群的所有代数性质都一一对应 将G中的单位元映射为G’中的单位元； 将G中任一元素a的逆元素a-1映射为G’中对应元素f(a)的逆元素(f(a))-1； 将G中的子群映射为G’中的子群； 保持元素的阶不变：ord(f(a))=ord(a)； 保持元素的可交换性：若ab=ba，则 f(a)f(b)=f(b)f(a)。 总之，两个同构的群，如果不考虑它们的实际背景，而只考虑它们的代数性质，就可以将它们等同起来看作一个群。 例子 正实数关于乘法形成一个群，(R+，x) 实数关于加法形成一个群，(R, +) 这两个群同构，对数映射是一个同构映射。 Cayley定理 定理：任何一个群同构于一个变换群； 任何一个有限群同构于一个置换群。 Cayley定理告诉我们，通过研究变换群和置换群的代数性质，就可以知道其它各种群的代数性质。