1–2–7空间向量和立体几何.ppt

空间向量是求解立体几何问题的一个重要工具，也是高考的一个重点．高考对空间向量的考查一般不单独命题，而是在解答题中以一些综合性问题的形式进行考查，如空间中线面位置关系的论证，空间各种角的求解等，此外高考特别注重考查在给出的几何体中建立恰当的空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算解决问题的能力． 因此应熟练掌握空间向量的概念及运算，特别是坐标运算，掌握建立空间直角坐标系的方法，熟悉点的坐标与向量的坐标间的关系，掌握向量法解决垂直、平行问题和空间角的求解问题等． 9．探索性问题的解决办法一般是：假设存在然后运用条件推理计算，若求出，且没有矛盾，则存在，问题解决；若导出矛盾，则否定假设，说明不存在，导出矛盾的过程就是说明理由的过程．对于立体几何中的探索性问题，特别适合建立空间直角坐标系用空间向量的坐标运算进行求解. (1)求证：BC1⊥AB1； (2)求证：BC1∥平面CA1D. [证明]　如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)． [点评]　用向量证明两条直线垂直，只要证明两条直线的方向向量互相垂直即可；而用向量证明线面平行有多种方法，可以证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线(平行)向量，也可以证明直线的方向向量与该平面的两个不共线向量是共面向量，还可以证明直线的方向向量与该平面的法向量垂直，在具体问题中可以选择最简单、最合适的方法． 证明：∵△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，∴AE⊥AB，∵平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴AE⊥平面ABCD，∴AE⊥AD，即AD、AB、AE两两垂直，如图建立空间直角坐标系． (1)设AB＝1，则AE＝1，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)， 在求线面角时，先求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角，再通过互余关系来得到相应的线面角(若平面的法向量与直线的方向向量的夹角为α(α可为锐角或钝角)，则直线与平面所成的角θ满足sinθ＝|cosα|；求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形． (1)证明：直线MN∥平面OCD； (2)求异面直线AB与MD所成角的大小； (3)求点B到平面OCD的距离． [点评]　用空间向量求点到平面的距离的方法步骤是：(1)求出平面的单位法向量n0；(2)任取一条过该点的该平面的一条斜线段，求出其向量坐标n1；(3)求出点到平面的距离d＝|n0·n1|，其中单位法向量由法向量除以它的模得到，斜线段可以任取，但必须经过该点． 解：如图，取DC的中点O，连接PO， ∵△PDC为正三角形，∵PO⊥DC. 又∵侧面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD. 3．向量法证明直线和平面相互平行 (1)证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行； (2)证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直． 4．向量法证明直线和平面相互垂直 (1)证明直线的方向向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直； (2)证明直线的方向向量与这个平面的法向量相互平行． 5．向量法证明两平面相互垂直：证明两个平面的法向量相互垂直． (2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，则 2.(2011·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值； (3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长． 解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD. 又因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC. 1.直线的方向向量和平面的法向量：空间中与直线共线的向量，叫做直线的方向向量；空间中与平面垂直的向量，叫做平面的法向量．直线与平面的位置关系可以利用直线的方向向量和平面的法向量进行判断． 2．向量法证明两直线相互垂直：证明两条直线的方向向量相互垂直． 1．(2011·课标)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. (1)证明：PA⊥BD； (2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值． 数学（理） 新课标·高考二轮总复习 第一部分　高考专题讲解 专题二　立体几何初步 第七讲　空间向量与立体几何 1.空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量，即