1–3矢量场旋度.ppt

例1.4 已知 。现有一个在 面内的 闭合路径C，此闭合路径由 和 之间的一段抛物 线 和两段平行于坐标轴的直线组成，如图所示。 （3） 斯托克斯定理成立。 * 1.3 矢量场的旋度 一、矢量的环流： 1 、定义： 线 在矢量 的场中，矢量 沿某一闭合路径的线积分，称为该矢量沿此闭合路径的环流。 环量是一个标量；可正、可负。 2 、有旋场、无旋场（保守场）： 在某一矢量 的场中，矢量 沿任意闭合路径的线积分，恒等于零，则该矢量场为无旋场；反之，为有旋场。 二、旋度： 1 、环流密度： 在矢量场 中来研究其 M点的性质，取包含此点的一个面元 ，其边界为 C，保持面元 的 方向不变，而 以任意方式趋近于零。则 环流密度 环量 线 环量面密度 讨论： 与 的边界 C 保持一致， 取最大值 与 有一夹角 ，则 ＜ 当 ， 时，（有旋矢量场 与面元 的法向分量 垂直），环流密度有最大值，此即被称为 的旋度大小； 的方向就称为 旋度的方向。 与 不在同一平面上 2、旋度的定义： 矢量 的旋度。记作 故 即 任意方向的环流密度 ?　３、旋度的物理意义 ? 旋度的计算 ? 矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； ? 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； ? 在直角坐标系下： 故 例：求矢量场 在 点 M（1，0，1）处的旋度及沿 方向的环流密度。 解：矢量场 的旋度 在点 M（1，0，1）处的旋度 在点 M（1，0，1）处沿 方向的环流密度 三、矢量场旋度的重要性质 旋度的散度恒等于零。 证明： ∵ 旋度与散度的定义都与坐标系无关。 应用： 斯托克斯定理： 证明： 将 S 分成许多面元 其相应面元的边界为 对每一个面元 ，其边界 的环绕方向均取与大回路 C一致的环绕方向。 则：相邻两面元 、 的边界 、 在公共边界上的积分等值异号，相互抵消。 又 ……… 故 证毕 求：（1）矢量场的A旋度； （2）计算环流 。积分区域 为如图所示的闭合路径C； （3）验证斯托克斯定理。 解 （1） （2）