1–6章数学分析课件第六章微分中值定理及其应用6–5.ppt

返回 后页 前页 §5 函数的凸性与拐点 返回 任意弧段位于所张弦的上方, 任意点的切线在曲线上方 任意弧段位于所张弦的下方，任意点的切线在曲线下方 凸函数 凹函数 A B C 设 A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))，则线段AB间的任意点C(x,y)可表示为： x C 注：如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号,则 定义1 设 f 为区间 I上的函数．若对于 I 上的任意 则称 f 为 I上的一个凸函数. 反之如果总有 则称 f 为 I 上的一个凹函数. 相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 引理 f (x)为区间 I上的凸函数的充要条件是： 从而有 因为 f (x)为 I 上的凸函数，所以 证 （必要性） 于是 整理后即为 (3) 式. 即 由于必要性的证明是可逆的，从而得到 （充分性）对于任意 则 所以 f 为 I 上的凸函数. 同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于 例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在 证 (a, b) 中每一点的左、右导数存在. 由引理得到 定理 3.10 设 f 为定义在 上的单调有界函数, 则右极限 这就证明了F(h)有下界. 所以 定理 6.13 设 f 为区间 I 上的可导函数, 则下述 论断互相等价： 证 我们在这里再一次强调， 的切线位于曲线的下方. 于相应曲线段的上方;而它 义是:曲线 y = f (x) 的弦位 函数 f 是凸函数的几何意 (本例说明：在凸(凹)函数的条件下，可微函数的 极值点与稳定点是等价的.) 例 3 设函数 f (x)为 (a, b) 上的可导凸(凹)函数. 注 我们实际上已经证明，对于可微凸函数，其极 此下面这个例题自然就产生了. 值总是极小值, 可微凹函数的极值总是极大值. 因 定理6.14 设 f (x) 在区间 I 上二阶可导，则 f (x) 在区间I上是凸(凹)函数的充要条件为： 解 因为 例 4 图中所示的M 是一个拐点. 定义2 曲线的切线，并且切线的两侧分别 M 是严格凸和严格凹的，这时称 下面两个定理是显然的. 定理6.15 定理6.16 但根据定义2, 点(0, 0) 却是曲线 -2 -1 O 1 2 -1 1 这是著名的詹森不等式 . 由数学归纳法不难证明：f 为 I 上的凸函数充要 即： 均为正数. 詹森不等式 例 5 证 即 又因 故有 再由对数函数是严格增的，就证得 复习思考题 1. 两个凸函数的乘积是否是凸函数 ? 2. 两个凸函数的复合是否是凸函数 ? 3. 任选一个凸函数, 利用詹森不等式构造出新的 不等式. 的严格凹函数，所以有 例 6 例 4 设函数 f (x)为 (a, b) 上的凸函数.不恒为常数, 证明：若不然，可设f (x0)为最大值，由凸函数的定义，对于任意的