1第1节微分方程.ppt

gsb 第二章 自动控制系统的数学模型 本章的主要内容 控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式 脉冲响应函数 各种数学模型的相互转换 概述 2、非线性元件（环节）微分方程的线性化 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统 为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。 例2-6 编写下图所示的速度控制系统的微分方程。 小结 系统微分方程的列写； 相似量、相似系统； 非线性环节的线性化； 线性方程的求解（用拉氏变换法）； 拉氏变换及性质。 * * [数学模型] 描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性以及状态空间描述等。 例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。 控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。 概述 [线性系统] 如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。 线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。 [线性定常系统和线性时变系统] 可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。 宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。 概述 经典控制理论中（我们正在学习的），采用的是单输入单输出描述方法。主要是针对线性定常系统，对此有一套完整的理论和方法。但对于非线性系统和时变系统，解决问题的能力是极其有限的，可以在一定的近似条件下简化为线性系统。 [非线性系统] 如果系统不能满足叠加原理，则系统是非线性的。 概述 下面是非线性系统的一些例子： 典型非线性环节： 饱和、滞环、间隙、干摩擦等 微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等，这种方法称为用分析法建立系统的数学模型。 另外一种方法是实验法。即人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当地数学模型逼近，这种方法又称为系统辨识，现在成为一门独立学科分支。 控制系统的微分方程 第一节 控制系统的微分方程 本节讨论用分析法建立系统的数学模型。 输入 输出 L R C i 例2-1 写出RLC串联电路的微分方程。 ① ② [解]：根据电路定理： 由②： ，代入①得： 这是一个线性定常二阶微分方程。 例2-2 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。 [解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。 m f m F F 图2 图1 控制系统的微分方程 根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： 这也是一个二阶定常微分方程。x为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为： [需要讨论的几个问题] 1、相似系统和相似量： 我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。 这是因为：若令 （电荷），则例2-1①式的结果变为： 可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。 相似系统和相似量 [定义] 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中， 分别与 为相似量。 [作用] 利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。 非线性环节微分方程的线性化 若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性