2.3.3向量数量积的坐标运算和度量公式课件〔人教B版必修4〕.ppt

2．3.3　向量数量积的坐标运算与度量公式 1．向量数量积的坐标运算 已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝ ，即两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和． 2．两个向量垂直的条件 如果a⊥b，则 ；反之，如果a1b1＋a2b2＝0，则a⊥b. 3．向量的长度、距离和夹角公式 已知a＝(a1，a2)，则|a|＝ ，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根． 如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ . 事实上这就是解析几何中两点间的距离公式． 已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则两个向量的夹角为cosa，b＝ . 重点：数量积的坐标运算和度量公式． 难点：公式的灵活运用． 1．运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数． 注意平行与垂直关系的联系与区别．对于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有 (1)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0； (2)a∥b?a·b＝±|a||b|?x1y2－x2y1＝0. 2．对一些几何问题(如垂直关系)可考虑建立坐标系，利用向量坐标法去解决． [答案]　A 已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0αβπ)，求证a＋b与a－b互相垂直． [分析]　只要证(a＋b)·(a－b)＝0即可． [解析]　解法一：由已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，得a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)， a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)． 又∵(a＋b)·(a－b) ＝(cosα＋cosβ)(cosα－cosβ)＋(sinα＋sinβ)(sinα－sinβ)＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)． 解法二：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝1－1＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)． [点评]　处理有关垂直总是要注意利用a⊥b?a·b＝0(a，b是非零向量)，或者利用a⊥b?a1b1＋a2b2＝0(a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2))． [例2]　设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值． [分析]　利用公式a·b＝|a||b|cosθ建立方程，解t的值． [辨析]　a与b的夹角是锐角， 则a·b0，且剔除a与b同向． [答案]　D [解析]　由a·b＝2×1＋1×(－2)＝0，∴a⊥b. 2．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x等于 (　　) A．3 B．1 C．－1 D．－3 [答案]　B [解析]　3x＋1×(－3)＝0，∴x＝1. 3．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均不正确 [答案]　C [答案]　A 二、填空题 5．已知a＝(x－2，x＋3)，b＝(2x－3，－2)，若a⊥b，则x＝________. [答案]　4 第二章 平面向量 人教 B 版数学 a1b1＋a2b2 a1b1＋a2b2＝0 * * 第二章 平面向量 人教 B 版数学 [例1]　在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值是(　　) A．5　　　B．－5 C. D．－ [解析]　∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴⊥，∴·＝0. 又＝－＝(2－k,2)， ∴2(2－k)＋2×3＝0，∴k＝5.故选A. [解析]　a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)， (a＋tb)·b＝(4＋2t，t－3)·(2,1)＝5t＋5， |a＋tb|＝＝， 由(a＋tb)＝|a＋tb||b|cos45°， 得5t＋5＝， 即t2＋2t＝0，解得t＝－3或t＝1. 经检验知t＝－3不符合题意，舍去．所以t＝1. 已知a＝(3，－4)，b＝(2，x)，c＝(2，y)，且a∥b，a⊥c，求b·c及b和c的夹角． [解析]　∵a∥b，∴3x＋8＝0，∴x＝－， ∵a⊥c，∴6－4y＝0，∴y＝. ∴b·c＝·＝4－4＝0， ∴b⊥c，∴b与c的夹角为90°. [例3]　已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)． (1)求使·取到最小值时的； (2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB. [解析]　(1)因为点C是