2.【苏教版高考数学复习导航〔第一轮〕理】两个计数原理与排列、组合.ppt

5. 7名师生站成一排，其中老师1人，男生4人，女生2人.在下列情况下，各有不同站法多少种 (1)两名女生相邻； (2)4名男生不相邻； (3)老师不站中间，女生不站两端. 【解析】(1)2名女生站在一起有 种站法，她们与其余5人全排列，有 种方法. 故有 =1440种站法. (2)老师和女生先站好，有 种方法，再将4名男生插入其中，插法有 种. 故有 =144种站法. 【解析】(3)分两类：第一类，老师站两侧之一，另一侧由男生站，有 =960种站法； 第二类，两侧由男生站，老师站除两侧和中间的另外4个位置之一，有 = 1152种站法. 故共有2112种站法. 1.两个计数原理的应用方法 在处理具体的应用问题时，必须先分清是分类还是分步.具体来讲，要根据元素的不同性质进行“分类”，根据事件发生的过程进行“分步”.两种计数方法，都必须弄清按什么标准进行“分类”或“分步”，在分类中，“类”与“类”之间是确定的和并列的；在分步中，“步”与“步”之间是相依的和连续的. 2.排列与组合综合理解 组合问题与排列问题的共同点都是“从n个不同的元素中选出m个元素”，区别在于，组合是取出的元素集中成一组，没有顺序，而排列是取出的元素要按顺序排成一列.解排列、组合问题时注意以下几点：(1)审题分析是排列问题，还是组合问题，按元素的性质分类，按事件发生的过程分步.(2)分清运算的性质，只要是分类计数，就是加法运算，只要是分步计数，就是乘法运算.在综合问题中，常常在分类中有分步，在分步中有分类. (3)要掌握定位排列的处理方法，掌握分类组合处理的思想方法.(4)排列、组合问题的答案一般数字比较大，不易直接验证.因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可以通过一题多解验证结论. 1．(2011·江苏省扬中调研测试)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？ 【解析】根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有4×3×2×2＝48种． 选题感悟：与图形有关的方法数的确定，一般是应用两个计数原理解题．要注意分步计数原理和分类计数原理的正确应用，很多时候还是综合应用． 选题感悟：本题是两个计数原理的综合应用．对比较复杂的问题，可以先分类，再分步． 两个计数原理的应用 【解析】(1)每人选报一个项目，都有三种选法，当每个人的项目选定后，这件事才算完成.故由分步计数原理，知共有3×3×3 ×3=81种不同的报名方法. (2)若以学生获得冠军的可能性考虑，第一位学生获得冠军有4种可能性(没有得冠军，跑步得冠军，跳高得冠军，跳远得冠军)，但考虑第二位学生时，并不是有4种可能，他受到第一位学生得冠军的可能性的影响，因为第二位学生要获得冠军，要除去与第一位学生获得冠军的相同的情况，考虑第三位、第四位获得冠军，相同的情况就会变得越来越复杂.显然，以学生获得冠军的可能性来分步，会使解决问题更加困难. 若以每个项目冠军产生的可能性考虑，问题的思路就清晰多了.完成三个项目都产生了冠军，事情才算完成，每个项目的冠军只有一个，4个人都有可能获得某个项目的冠军，所以每个项目的冠军都有4种可能的结果.由分步计数原理，知共有可能的结果为4×4×4=64种. 应用分步计数原理时，也要明确分步的标准.分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，各个步骤完成了，这件事才算完成.本题中第(1)问，是以人来分步的，每人选报一个项目，都有三种选法，4个人都选定了项目，这件事就完成了；第(2)问是以项目分步的，每个项目的冠军都有4种可能的结果，三个项目的冠军确定了，这件事就完成了. 排列问题 【解析】(1)分两步：甲、乙、丙捆绑在一起，有 =6种方法；把甲、乙、丙三人看成一个人，与其他4人共5个元素做全排列，有 =120种方法.所以有 =6×120=720种不同的站法. (2)分两步：先将其他4人站成一排，有 =24种方法；再将甲、乙、丙三人插入到这4人的空隙中(包括两端)，有 =60种方法.所以有