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二阶导数 : 导数的另一求法 二元线性代数方程组解的公式 解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数. 运行时, 点击按钮 “解的公式”,可显示二阶线性方程组解的公式, 演示结束自动返回. * 第九章 第五节 隐函数的求导方法 第九章 第五节 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数的求导方法 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 C 0 时, 能确定隐函数 C 0 时, 不能确定隐函数 2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题. 本节讨论: 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 导数 两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还可求隐函数的 例1. 验证方程 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 ; 由 定理1 可知, ① 导的隐函数 则 ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 并求 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时 — 利用隐函数求导 定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 ; 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 两边对 x 求偏导 同样可得 则 例2. 设 解法1 利用隐函数求导 再对 x 求导 解法2 利用公式 设 则 两边对 x 求偏导 二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 由 F、G 的偏导数组成的行列式 称为F、G 的雅可比 行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 雅可比 定理3. 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 ③ 的单值连续函数 且有偏导数公式 : ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 导数； 雅可比(1804 – 1851) 德国数学家. 他在数学方面最主要 的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独 地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列 式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分 方程的研究中引进了“雅可比行列式”, 并应用在微积 分中. 他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微 分方程, 在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献 . 他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派. 定理证明略.仅推导偏导数公式如下： 解: 有隐函数组 则 两边对 x 求导得 设方程组 在点P 的某邻域内 解的公式 故得 系数行列式 同样可得 例3. 设 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 求 练习: 求 答案: 由题设 故有 例4.设函数 在点(u,v) 的某一 1) 证明函数组 ( x, y) 的某一邻域内 2) 求 解: 1) 令 对 x , y 的偏导数. 在与点 (u, v) 对应的点 邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 ①式两边对 x 求导, 得 则有 由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数. ① ② ② 从方程组②解得 同理, ①式两边对 y 求导, 可得 例4的应用: 计算极坐标变换 的反变换的导数 . 同样有 所以 由于 内容小结 1. 隐函数( 组) 存在定理 2. 隐函数 ( 组) 求导方法 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式 . 思考与练习 设 求 提示: 作业 P89 3 , 7 , 10(1) 第六节 由d y, d z 的系数即可得 分别由下列两式确定 : 又函数 有连续的一阶偏导数 , 补充题. 设 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得 (2001考研) 解得 因此 * * * *