《高等数学教学课件》gs2（64）10-1.pptVIP

内容小结 1. 二重积分的定义 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 被积函数相同, 且非负, 思考与练习 解: 由它们的积分域范围可知 1. 比较下列积分值的大小关系: 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 的大小顺序为 ( ) 提示: 因 0 y 1, 故 故在D上有 P137 4(2)，5(3) 作业 * * * lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分 三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 第十章 回顾一元函数定积分引例 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 矩形面积 梯形面积 解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作如图所示小矩形，以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 3) 近似和. 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积 解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、多元函数定积分引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面. 怎样求其体积？ “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 4)“取极限” 令 2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小块 . 2)“常代变” 中任取一点 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 二、二重积分的定义及可积性 定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: 如果 在D上可积, 元素d?也常记作 二重积分记作 这时 分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 二重积分存在定理: 若函数 定理2. (证明略) 定理1. 在D上可积. 限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 三、二重积分的性质 ( k 为常数) ? 为D 的面积, 则 特别, 由于 则 4. 若在D上 5. 设 D 的面积为? , 则有 例1. 比较下列积分的大小: 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线 从而 而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 例2. 估计下列积分之值 解: D 的面积为 由于 积分性质5 即: 1.96 ? I ? 2 D 6.(二重积分的中值定理) 在闭区域D上 ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 连续, 7. 设函数 D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在 D 上 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 则 则 有类似结果. 在第一象限部分, 则有 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 * * *