《高等数学教学课件》gs2（64）10-4.pptVIP

lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷 第四节 二、立体体积 三、曲面的面积 重积分的应用 第十章 一、立体体积 D 二重积分的应用 重积分在几何上的应用 一、 平面区域的面积 设有平面区域D, 二、 体积 设曲面方程为 则D上的曲顶柱体体积为: 则其面积为: 占有空间有界域?的立体的体积为: 三、曲面的面积 例1. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xOy 面上投影为 则 出的面积 A . * 例2 因曲面方程为 所以, o x z y D 解 截下的有限曲面片的面积. 被柱面 求曲面 a * 重积分的应用 ( t为时间)的雪堆在融化 设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为 已知体积 (比例系数0.9),问 高度为130(厘米)的雪堆全部融化需要多少小时? 思考题 过程中,其侧面满足方程 减少的速率与侧面积成正比 2001研究生考题 记雪堆体积为V, 侧面积为 S ,则 解 * 重积分的应用 * 重积分的应用 令 得 (小时) 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为100小时. 已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9) 三、物体的质心 设空间有n个质点, 其质量分别 由力学知, 该质点系的质心坐标 设物体占有空间域 ? , 有连续密度函数 则 公式 , 分别位于 为 为 即: 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 将 ? 分成 n 小块, 将第 k 块看作质量集中于点 例如, 令各小区域的最大直径 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 的质点, 即得 此质点 在第 k 块上任取一点 同理可得 则得质心坐标： 若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片, ( A 为D 的面积) 得D 的形心坐标: 则它的质心坐标为 其面密度 — 对 x 轴的 静矩 — 对 y 轴的 静矩 例3. 求位于两圆 和 的质心. 解: 利用对称性可知 而 之间均匀薄片 作业 P155 10 , P175 1，2 lt1210@ 刘婷 lt1210@ 刘婷