《高等数学教学课件》gs2（64）11-4对面积曲面积分.pptVIP

第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分 第十一章 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, ? 表示 n 小块曲面的直径的 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 最大值 定义: 设 ? 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 ? 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对? 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ? 上对面积 函数, ? 叫做积分曲面. 则对面积的曲面积分存在. ? 对积分域的可加性. 则有 ? 线性性质. 在光滑曲面? 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. ? 积分的存在性. 若? 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ? 上连续, 存在, 且有 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 说明: 可有类似的公式. 如果曲面方程为 例1. 计算曲面积分 其中? 是球面 被平面 截出的顶部. 解: 思考: 若 ? 是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, 则 例2. 计算 其中? 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 与 原式 = 分别表示? 在平面 内容小结 1. 定义: 2. 计算: 设 则 (曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性 简化计算的技巧. 思考与练习 P219 题3; 解答提示: P219 题3. 设 则 P246 题2 P246 题2. 限中的部分, 则有( ). ( 2000 考研 ) 作业 P219 4(3); 6(1), (3)