《高等数学教学课件》gs2（64）11-3格林公式.pptVIP

第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 格林公式及其应用 第十一章 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 一、 格林公式 证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 则 即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 证毕 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 格林公式 例1, 椭圆 所围面积 例2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 证: 令 则 利用格林公式 , 得 例4. 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 设 L 所围区域为D, 由格林公式知 在D 内作圆周 取逆时 针方向, , 对区域 应用格 记 L 和 l ˉ 所围的区域为 林公式 , 得 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理. 设D 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (4) (3) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (4) 与路径无关, 只与起止点有关. 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 证明 (2) ? (4) 在D内取定点 因曲线积分 则 和任一点B( x, y ), 与路径无关, 有函数 同理可证 因此有 说明: 根据此定理 , 若在某区域D内 则 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 及动点 或 则原函数为 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 取定点 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 4) 若已知 d u = P dx + Q dy , 则对D内任一分段光滑曲 线 AB ,有 注: 此式称为曲线积分的基本公式. 它类似于微积分基本公式: 例5. 验证 在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函 数 , 并求出它. 证: 令 则 由定理 可知存在原函数 内容小结 1. 格林公式 2. 等价条件 在 D 内与路径无关. 在 D 内有 对 D 内任意闭曲线 L 有 在 D 内有 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有 作业 P213 2 (1) ; 5 (1) , (4) ； 6 (1); * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. * 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. * 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. * 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. * 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容.