《高等数学教学课件》gs2（64）12-4函数展开成幂级数.pptVIP

第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十二章 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中 ( ? 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 则在 复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 : 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: 证明: 令 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 是否为0. 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 故 (? 在0与x 之间) 故得级数 例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 对上式两边求导可推出: 例. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 从 0 到 x 积分, 得 定义且连续, 域为 上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 例5. 将 展成 x－1 的幂级数. 解: 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 式的函数 . 思考与练习 1. 函数 处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级 数” 有何不同 ? 提示: 后者必需证明 前者无此要求. 2. 如何求 的幂级数 ? 提示: 作业 P285 2 (1) , (3) , (5); 3 (2) ; 6