2012高中考数学《导数》总复习.ppt

知能迁移4 已知曲线 . (1)求曲线在x=2处的切线方程； (2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）∵y′=x2, ∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4. ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. （2）设曲线 与过点P（2，4）的切线 相切于点 ， 则切线的斜率k=y′|x=x = . ∴切线方程为y- 即 0 ∵点P（2，4）在切线上，∴4= 即 ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 知能迁移5 * 变化率与导数、导数的计算 导数及其应用 要点梳理 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 ， 若Δx=x2-x1,Δy=f（x2）-f（x1），则平均变化率可表示为 . 基础知识 自主学习 2.函数y=f（x）在x=x0处的导数 （1）定义 称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x=x0， 即f′(x0)= = . （2）几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f（x）上点 处的 .相应地，切线方程为 . (x0,f(x0)) 切线的斜率 y-y0=f′(x0)(x-x0) 3.函数f(x)的导函数 称函数f′(x)= 为f（x）的导函 数，导函数有时也记作y′. 4.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f（x）=c f′(x)= f(x)=xn (n∈Q*) f′(x)= f(x)=sin x f′(x)= f(x)=cos x f′(x)= f(x)=ax f′(x)= cos x 0 -sin x axln a(a＞0) nxn-1 ex 5.导数运算法则 （1）［f（x）±g(x)］′= ; (2)［f(x)·g(x)］′= ; (3) ′= (g(x)≠0). 6.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的 导数间的关系为 y ′ = ，即y对x的 导数等于 的导数与 的导数的乘积. f(x)=ex f′(x)= f(x)=logax f′(x)= f(x)=ln x f′(x)= (a＞0,且a≠1) f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) y′·u′ y对u u对x x u x 基础自测 1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点 （1+Δx，2+Δy），则 为 （ ） A.Δx+ +2 B.Δx- -2 C.Δx+2 D.2+Δx- 解析 ∵Δy=（1+Δx）2+1-12-1=(Δx)2+2Δx, ∴ =Δx+2. C 2.设正弦函数y=sin x在x=0和x= 附近的平均变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 （ ） A.k1＞k2 B.k1＜k2 C.k1=k2 D.不确定 解析 ∵y=sin x,∴y′=(sin x)′=cos x, k1=cos 0=1，k2=cos =0，∴k1＞k2. A 3.曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为 （ ） A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-5 解析 由y′=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2. B 4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是 （ ） A.af(b)＞bf(a) B.af(a)＞bf(b) C.af(a)＜bf(b) D.af(b)＜bf(a) 解析 令g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)＞0. ∴g(x)在R上为增函数，∵a＞b, ∴g（a)＞g(b),即af(a)＞bf(b