2013年新课标高中数学〔理〕第1轮总复习第3章第24讲数学归纳法.ppt

第三章;数学归纳法;解析：当n=1时，左边式子是二次式，为1+x+x2.;2.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+_____　. 解析：由凸k边形到凸k+1边形，增加了一个三角形，故f(k+1)=f(k)+p .;状元365答疑网 中小学在线互动答疑领导品牌;4.一个关于正整数n的命题，如果验证n=1时命题成立，并在假设n=k(k≥1)时命题成立的基础上，证明了n=k+2时命题成立，那么论证过程到此为止只说明该命题对　__________________．;5.用数学归纳法证明对任意n∈N*，有34n+2+52n+1能被14整除的过程中，当n=k+1时，34(k+1)+2+52(k+1)+1应该变形为　_______________________　. 解析： 因为n=k+1时的证明过程，要用归纳假设n=k时，34k+2+52k+1能被14整除， 所以34(k+1)+2+52(k+1)+1 =81×34k+2+25×52k+1 =25(34k+2+52k+1)+56×34k+2.;数学归纳法在证明等式中的应用;状元365答疑网 中小学在线互动答疑领导品牌;用数学归纳法证明：1·22+2·32+…+n(n+1)2= (3n2+11n+10). ①当n=1时，等式自然成立； ②假设n=k(k∈N*)时，等式成立， 即1·22+2·32+…+k(k+1)2= 那么当n=k+1时， 左边=1·22+2·32+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2, ;= (3k+5)(k+2)+(k+1)(k+2)2 = ［k(3k+5)+12(k+2)］ = (3k2+17k+24) = ［3(k+1)2+11(k+1)+10］=右边. 所以当n=k+1时，等式成立. 由①②知，等式 1·22+2·32+…+n(n+1)2= ·(an2+bn+c)对 一切正整数n都成立.;点评;【变式练习1】用数学归纳法证明： ;【证明】 (1)当n=1时，左边=右边= ，命题成立 (2)假设n=k时，命题成立， 即 . 那么当n=k+1时， 左边;数学归纳法在证明整除问题中的应用 ;状元365答疑网 中小学在线互动答疑领导品牌;状元365答疑网 中小学在线互动答疑领导品牌;点评;状元365答疑网 中小学在线互动答疑领导品牌;状元365答疑网 中小学在线互动答疑领导品牌;状元365答疑网 中小学在线互动答疑领导品牌;数学归纳法在证明不等式中的应用 ; 当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立. 下面用数学归纳法证明“当x -1，且x≠0时，(1+x)m1+mx(*)对m≥2,m∈N*成立”. (1)当m=2时，左边=1＋2x＋x2，右边=1＋2x. 因为x≠0，所以x20，即左边＞右边，不等式(*)成立；; (2)假设当m=k(k≥2, k∈N*)时，不等式(*)成立， 即(1+x)k1+kx. 则当m=k+1时，因为x-1，所以1+x0. 又因为x≠0, k≥0，所以kx20. 于是在不等式(1+x)k 1+kx两边同乘以1+x, 得(1+x)(1+x)k(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x， 所以(1+x)k+11+(k+1)x. 即当m=k+1时，不等式(*)也成立. 综上(1)(2)所述，所证不等式成立.;点评;状元365答疑网 中小学在线互动答疑领导品牌;状元365答疑网 中小学在线互动答疑领导品牌;数学归纳法在数列问题中的应用 ;状元365答疑网 中小学在线互动答疑领导品牌;状元365答疑网 中小学在线互动答疑领导品牌;点评;;;数学归纳法在几何问题中的应用 ; ①当n=1时，一个圆把平面分成两部分，又f(1)=2，命题成立； ②假设n=k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分，那么当n=k+1时，第k+1个圆与原来k个圆都相交于两点，且无任意三圆相交于同一点，于是第k+1个圆与前k个圆有2k个交点，因此第k+1个圆被分成2k段弧，每段弧把原区域分成两部分，因此平面区域在原基础上增加了2k块,于是f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2; 即当n=k+1时，命题成立. 由①②知，命题对任意正整数都成立.;