2014届高三人教A版数学〔理〕一轮复习课件︰第5章第1节数列的概念与简单表示法.ppt

第一节　数列的概念与简单表示法 1．数列的定义 按照_________排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的___． 2．数列的分类 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与_______之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 4．数列的递推公式 若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1的关系式表示(如an＝2an－1＋1，n1)，则这个关系式称为数列的递推公式． 1．数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？ 2．数列的函数特征是什么？ 【提示】　数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)． 1．(人教A版教材习题改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为(　　) A．30　　　　B．31　　　　C．32　　　　D．33 【解析】　a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31. 【答案】　B 2．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图5－1－1)． 则第7个三角形数是(　　) A．27 B．28 C．29 D．30 【解析】　由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】　B 4．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________． 【思路点拨】 归纳通项公式应从以下四个方面着手： (1)观察项与项之间的关系； (2)符号与绝对值分别考虑； (3)规律不明显，适当变形． 1．求数列的通项时，要抓住以下几个特征． (1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 【思路点拨】 　消去Sn，可得an与an－1的递推关系，进而求出an. 1．本题主要考查利用赋值法求数列中的项，以及利用an与Sn的关系，借助累乘法求数列的通项公式． 2．利用an＝Sn－Sn－1求通项时，注意n≥2这一前提条件，易忽略验证n＝1致误，当n＝1时，a1若适合通项，则n＝1的情况应并入n≥2时的通项；否则an应利用分段函数的形式表示． (2012·广东高考)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式； 【解】　(1)当n＝1时，T1＝2S1－12. 因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1. (2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1， 所以Sn＝2Sn－1＋2n－1， ① 已知数列{an}． (1)若an＝n2－5n＋4. ①数列中有多少项是负数？ ②n为何值时，an有最小值？并求出最小值． (2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1＞an成立．求实数k的取值范围． 【思路点拨】 (1)求使an＜0的n值；从二次函数看an的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性 1．本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决． 2．本题易错答案为k＞－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数． 3．在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． 设函数f(x)定义如下表： 定义数列{an}：a0＝2，an＋1＝f(an)，n∈N. (1)求a1－a2＋a3－a4＋…－a2 010＋a2 011； (2)若a1＋a2＋a3＋…＋an＝1 000，求n的值． 【解】　(1)由题意知，a1＝4，a2＝5，a3＝1，a4＝3，a5＝2，a6＝4，…，数列{an}为周期数列，最小正周期为5， 又a1－a2＋a3－a4＋…＋a9－a10＝0，a2 011＝a1＝4. ∴原式＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2