2014届高考数学〔文〕一轮复习课件〔鲁闽皖专用〕︰圆的方程〔新人教A版〕.ppt

【规范解答】(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆 心， 为半径的圆， 的几何意义为点(x,y)与原点连线的斜 率，所以设 =k，即y=kx,当直线与圆相切时，斜率k取最大值 或最小值，此时 解得k=± 所以 的最大值为 最小值为 (2)y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距，当直线与圆相切时， 直线y=x+b在y轴上的截距取最大值或最小值，此时 解得b=-2± 所以y-x的最大值为-2+ 最小值 为-2- (3)方法一：x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方，由平面几 何知识可知，原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取 得最大值或最小值.又圆心到原点的距离为2， 故(x2+y2)max= (x2+y2)min= 方法二：由x2+y2-4x+1=0得：y2=-x2+4x-1,且-x2+4x-1≥0, 即： ∴x2+y2=x2+(-x2+4x-1)=4x-1, ∴(x2+y2)max= (x2+y2)min= 【反思·感悟】1.本题三问都是求代数式的最值，它们都是利用代数式的几何意义与取最值时所满足的条件得出等式，通过解方程即可得出结论. 2.解答圆的最值问题，应注意数形结合，充分运用直线的斜率、在坐标轴上的截距、几何性质，来寻找解题思路. 【变式训练】已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动，则 的最大值为________；最小值为______. 【解析】 的几何意义表示圆上的动点与(2,1)连线的斜率， 所以设 =k，即kx-y+1-2k=0，当直线与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时 解得k=± 所以 的最大值为 最小值为- 答案： 【变式备选】若点P(x,y)是圆(x+1)2+y2=1上任意一点，求 (x-2)2+(y+4)2的最大值、最小值. 【解析】方法一：(x-2)2+(y+4)2表示圆上的点到定点(2,-4) 的距离的平方，因为圆心(-1,0)到点(2,-4)的距离为 所以，圆上的点到点(2,-4)的距离的 最大值为6、最小值为4；因此，(x-2)2+(y+4)2的最大值为36、最小值为16. 方法二：因为点P(x,y)是圆(x+1)2+y2=1上任意一点，所以可设 则(x-2)2+(y+4)2 =(cosθ-3)2+(sinθ+4)2=26+8sinθ-6cosθ =26+10sin(θ+β)(其中tanβ= ). 故(x-2)2+(y+4)2的最大值为36； (x-2)2+(y+4)2的最小值为16. 与圆有关的轨迹问题 【方法点睛】1.求轨迹方程的基本步骤 第一步：建立适当的平面直角坐标系，设曲线上任意点的坐标为M(x,y)； 第二步：写出适合已知条件的点M的集合P={M|P(M)}； 第三步：用坐标表示P(M)，列出方程f(x,y)=0； 第四步：化简方程f(x,y)=0为最简形式. 2.求与圆有关的轨迹方程的方法 【提醒】注意轨迹与轨迹方程的区别. 直接法 直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法 定义法 根据圆（或直线）的定义列方程求解的方法 几何法 利用圆的几何性质，得出方程的方法 找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式的方法 代入法 【例3】长为2a的线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中点的轨迹方程. 【解题指南】可设AB的中点坐标为(x,y)，再求出A、B的坐标，由距离公式及线段AB的长即可得出方程；还可由AB的中点与坐标原点的距离为定长，得出轨迹为圆，从而得出方程. 【规范解答】方法一：设AB的中点坐标为(x,y)，因为线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，所以A、B两点的坐标分别为A(2x,0)、B(0,2y)，因为线段AB长为2a，所以 化简得：x2+y2=a2. 方法二：设AB的中点坐标为(x,y),依题设知，AB的中点到原点的距离为a,所以其轨迹为以原点为圆心，以a为半径的圆，其方程为x2+y2=a2. 【反思·感悟】1.求点的轨迹时，关键是发现点满足的几何条件，寻找等式，得出方程；另外，注意圆的定义的应用，如果轨迹是圆，则可由圆心及半径直接写出圆的方程. 2.解答轨迹问题时，要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解. 【变式训练】已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9，过点A(2,3)作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程. 【解析】方法一：直接法