2015年《创新设计》高考数学〔江苏版.理科〕8–7.ppt

第7讲　 立体几何中的向量方法(二) ——求空间角 知 识 梳 理 1．两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 辨 析 感 悟 1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β. (×) (2)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角． (×) (3)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则a∥c，a⊥b. (√) [感悟·提升] 1．利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算． 2．两种关系 一是异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角，如(2)． 二是二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，如(6). 【训练1】 如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－ A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为________． 考点二　利用空间向量求直线与平面所成的角 【例2】 (2013·湖南卷)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值． (1)证明 法一 因为BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD.∴AC⊥BB1，又AC⊥BD， ∴AC⊥平面BB1D， 又B1D?平面BB1D，从而AC⊥B1D. 规律方法 (1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第(2)问中，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想． (2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量． 【训练2】 (2014·青岛质检)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． (1)证明 如图1，取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形， 所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C. 考点三　利用向量求二面角 【例3】 (2013·天津卷)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点． (1)证明B1C1⊥CE； (2)求二面角B1-CE-C1的正弦值； 【训练3】 (2014·重庆调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB. (1)求PA的长； (2)求二面角B－AF－D的正弦值． 1．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算． (1)求两异面直线a，b的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos θ＝|cos〈a，b〉|. (2)求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sin θ＝|cos〈n，a〉|. (3)求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉． 2．(1)利用向量夹角转化为各空间角时，一定要注意向量夹角与各空间角的定义、范围不同． (2)求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．　　 [规范解答]　(1)证明　取BC，B