2–1微积分学基本定理及基本积分公式.ppt.ppt

x x y o §2 微积分学基本定理及基本积分公式 1． 变限定积分 参变量 2．不定积分的概念及基本积分公式 . 0 . . . . . . . . . . . . y x 在上可积，则对，在上 可积，即． ---变上限定积分 1) 变上限定积分是上限的函数 设在上可积， 是上限的函数． 2) 变上限定积分求导 Thm 1 设，则在上可导，且 ． 例, ． (2) , 求 一般地， ． 2) 变上限定积分求导 例, 求 ． ， 2) 变上限定积分求导 例１, 求 令, 则是由 ． ， 令, 则是由 令和复合而成, 因此 ． 一般地， ． 2) 变上限定积分求导 例． ． ， 证：的图形向下凸． 参变量在积分过程中保持不动，可往外提． 含参数的变限积分 例 (1) ； (2) ． 2．Newton--Leibniz公式 Def. 1 设在区间上有定义．若存在 则称为在上的一个原函数． 使对，有 或 ， ？ (1) 存在； (2) 唯不唯一； (3) 任意两个原函数间存在什么联系． ， ． ， 若在上有原函数，则有一个必有无穷多个． (1) 原函数的存在性 (3) 的任意两个原函数之间 已有结论：若， 则在上一定存在原函数． (2) 原函数不唯一 只差一个常数，即若， 则． 结论： 若为的任一原函数， 则为的原函数的全体，其中为常数． Thm 2 （Newton-Leibniz公式） Note：Thm的条件可减弱为：在上可积， 设，为的任一原函数，则 ． 为在上的一个原函数，则 ． 例 (2) （） (3) (4) ． , 为的任一原函数 (5) ． 1) Def. 2 的原函数的全体（或一般表达式） 称为不定积分，记为 ． 若为的原函数，则 ， 其中为任意常数 积分常数