2–2零输入-零状态-冲激-阶跃响应.ppt

信号与系统—signals and systems 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 §2.2 零输入、零状态、冲激、阶跃响应 ②另一种求法：完全响应=零输入响应+零状态响应 一、零输入、零状态响应 1．概念的引出 ①前一种求法：完全响应=自由响应+强迫响应 其中自由响应待定系数由冲激函数匹配法求出 解： [例1]：已知电容起始电压vc(0-)，求vc(t) (t0) + vc(0-) e(t) + _ + _ _ R vc(t) C 零输入响应 零状态响应 只与起始状态有关 只与输入激励有关 卷积形式 e(t) H[.] H[ ] {x(0-)} r(t) ③含起始状态系统方框图 系统本身作用的结果，系统起始状态 激励引起的响应 系统起始状态引起的响应 ③初始条件： 即齐次解 的待定系数用 确定即可！ 2．零输入响应的定义与待定系数确定 ①定义：没有外加激励信号作用，完全由起始状态 所产生的响应， ②满足方程： 故 是一种齐次解形式，即 其中， 为互不相等的n个系统特征根 待定系数由起始状态决定 零输入初始条件 ①定义：起始状态为0，只由激励产生的响应， ②满足方程： 故 含特解 ，即 3．零状态响应的定义与待定系数确定 ③初始条件：由于 故 =跳变值， 由跳变值确定 =跳变值 即系数 零状态初始条件 + - - + 20V 10V 1Ω 1H 1F 1 2 S i(t) C L R + - e(t) [例2]：已知电路图，求 ②写出t≥0+的微分方程； ④求t≥0+的完全响应，指出零输入响应和零状态响应。 ① ； ③写出-∞t+∞的微分方程，求 解： i) ii)电感电流不跳变： iii)电容电压不跳变： ① + - - + 20V 10V 1Ω 1H 1F 1 2 S i(t) C L R + - e(t) ② 当t≥0+时， ，故 ③当-∞t+∞ 时， 故 冲激函数匹配法： ，故 ii)零状态：t≥0+特解 ，故可设 由 可得 故 iii)完全响应： i)零输入：特征根为 ，故可设 由 ， 可知 ， ，即 ④ [例3]：已知： 求 将e(t)代入右端，得自由项= ， 即 目测法得： 故 代入： 解： ，待定系数由 与 确定 解：将 代入方程右边，得 [例3]： t0时自由项为0，故特解为0，于是可设： 故 所以 目测法： 已知 求 4．稳态响应：t→∞ 时留下的响应分量 时 趋于零的那部分响应 瞬态响应：t→∞ 5．线性时不变系统概念的扩展 ①常系数线性微分方程，起始状态不为0，即 则系统 i)不满足线性 ， {x(0-)} ≠0 ii)不满足时不变特性 iii)不满足因果性：有零输入分量存在，响应变化不可能只发生在激励变化之后 ②故按第一章的定义：常系数线性微分方程所描述的系统只有在起始状态为0的条件下，系统才是线性时不变的，而且是因果的。 ③线性时不变系统概念扩展 i)响应的可分解性： ii)零状态线性： iii)零输入线性： 对各起始状态呈线性关系。 对e(t)呈线性； [例5]：二阶系统 求系统在 起始状态下， 解： 的响应。 对激励 h(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}] 0 二、冲激响应和阶跃响应 1．冲激响应： ① 时，系统对 的响应称为冲激响应，记为 。零状态响应，满足线性时不变特性 H[.] ②用卷积描述零状态响应 考虑与t有关的项 物理意义：信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求出系统对任意激励信号的零状态响应 ③解的形式特点 i)t≥0时右端自由项为0，故解具有零输入响应的形式 ii)当nm时，h(t)不包含 iii)当n=m时，h(t)包含 iv)当nm时，h(t)包含 ④求法 i)直接设待定系数 项 项 和其导数项，最高项为m-n 次 ii)解微分方程，利用冲激函数匹配法确定初始条件，见P59例 [例6]：求下列h(t) ① 解： ①设 故 不含 ② [例6]：求下列h(t) 解： ②设 故 含 [例6]：求下列h(t) ③ 解： ③设 故 含 及其高阶导数 H[ ] {x(0-)}=0 u(t) g(t) 2．阶跃响应 ①当 i)是零状态响应，满足线性时不变特性 ②解的形式 ii) 齐次解与特解形式： iii) 当n≥m时，g(t)无 iv) 当nm时，g(t)含有 及其导数项，最高次导为m-n-1次 ，系统对u(t)的零状态响应，记为g(t) 项 ii) i) 满足 特解 ii)直接设待定