2–3n阶行列式的性质与计算.ppt

一、行列式的性质 二、余子式与代数余子式 三、行列式按行（列）展开法则 四、行列式的计算 六、小结 * * §2.3n阶行列式的性质与计算 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. 记 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 证明 性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 则D等于下列两个行列式之和： 例如 性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例如 利用行列式的上述性质，往往可以使行列式的计算简化，但我们知道阶数越低的行列式越容易计算。比如二阶行列式比三阶行列式要容易计算得多。因此，我们自然地提出，能否把行列式转化为一些阶数较低的行列式来计算？为此先给出余子式和代数余子式的概念。 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 例如 引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 例如 定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 例１ 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 解 例2 计算 阶行列式 解 将第 都加到第一列得 例3 证 用数学归纳法 例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式