2–4离散时间线性非时变系统与差分方程.ppt

2.4离散时间线性非时变系统与差分方程 离散系统的定义 离散系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运算。亦即将一个序列变换成另一个序列的系统，记为 y(n)=T［x(n)］ 通常将上式表示成图2-20所示的框图。 一.离散线性非移变系统及卷积运算(1) 系统的线性特性 满足叠加原理的系统具有线性特性，即若对两个激励x1(n)和x2(n)有 (2) 系统的非移变特性 时不变(Time-Invatiance) 系统的非移变是指系统的参数不随时间而变化。用数学表示为 T［x(n－n0)］=y(n－n0) 即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是出现的时间不同，如图2-22 所示。 (3) 线性非移变系统： 线性时不变系统，简称为：LTI 线性非移变系统就是既满足迭加原理又具有非移变特性的系统，将其描绘如图2-24所示。 单位脉冲（取样）响应（Impulse response） LTI系统对任意输入的响应 (4) 线性卷积（离散卷积）的计算 计算线性卷积有4种方法。 ① 利用两个序列的解析式直接计算。 ② 利用两个序列的移位求和，即先把一个序列倒置。每次将它向下移一步，求出两序列重叠部分乘积之和。 ③ 用作图法求。 ④ 卷积的Matlab实现 离散卷积的计算 三.系统的稳定性与因果性 (1) 稳定性 对于一个系统，当输入序列是有界时，其输出也是有界的，则称它是稳定系统。用数学描述则为 如果 ｜x(n)｜＜∞对于一切n 则 ｜y(n)｜＜∞对于一切n 因为 其中假设｜x(n)｜≤M。 2．因果性 一个系统如果其输出变化不会发生在输入变化之前，则称它是因果的。这就是说对于因果系统，如果取n0 ,当n n0时，x1(n) = x2(n),则n n0时，y1(n)=y2(n)。一个线性非移变系统当n0时的因果充要条件是其单位取样响应等于零,即 h(n)=0 n0 这个充要条件可以从 y（n）＝ x(n)*h(n) 的解析式中导出。 四.线性常系数差分方程 定义1 设函数 ，称改变量 为函数 的差分，也称为函数 的一阶差分，记为 ，即 或 一阶差分的差分 称为二阶差分，即 类似地可定义三阶差分，四阶差分，等等. 一般地，函数 的 阶差分的差分称为 阶差分，记为 ，即 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分. 例1 设 ，求 ， ， 解 例2 设 求 解 设 ，则 . 差分满足以下性质： （2） （3） （4） （1） 例3 求 解 由差分的运算性质，有 . 的差分. * * 图2-20 离散系统的模型 注意： 齐次性 叠加性 例: 设一系统的输入输出关系为 y[k]=x2[k] 试判断系统是否为线性？ 解：输入信号x [k]产生的输出信号T{x [k]}为 T{x [k]}=x2[k] 输入信号ax [k]产生的输出信号T{ax [k]}为 T{ax [k]}= a2x2[k] 除了a=0,1情况，T{ax [k]}? aT{x [k]}。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。 例??y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。 计算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3， 而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b) 图2-22 离散系统的非移变特性 在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“非时变”特性。 例：?? 证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统。 计算： T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。 解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为 y[k]=T{ x[k]}= x[Mk] 输入信号x[k-n]产生的输出信号T{x[k-n]}为 T{x[k-n]}= x[Mk-n] 由于 x[Mk-n] ?y[k-n] 故系统是时变的。 例: 已知抽取器的输入和输出关系为 y[k]=x[Mk] 试判断系统是否为时不变的？ 抽取器时变特性的图示说明 图2-24 线性非移变系统模型 单位取样响应 定义： 例：累加器: 当任意输入x(n)用前式表示时，则系统输出为 因为系统是线性非移变的，所以 通常把上式称为离散卷积或线性卷积。 这一关系常用符号“*