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* * 2-6 无穷小量的比较 　　　　　　复习 二、两个重要极限 一、极限存在准则 夹逼准则 ；单调有界准则 都是无穷小. 极限不同,反映了无穷小趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 不存在 第六节 无穷小的比较 定义： 记作： (1)如果 就说 是比 较高阶的无穷小； (2)如果 就说 是比 较低阶的无穷小； (3)如果 就说 与 同阶的无穷小, (4)如果 就说 是关于 的 k 阶无穷小. 记作： 设 是同一过程中的两个无穷小， 且 特别地,若C =1时, 就说 与 是等价的无穷小； 注意： 1.无穷小的阶的高低是相对的；并依赖于极限过程的； 2.无穷小的比较是 型极限的另外一种说法； 3.有两个重要的符号 例如 ∵ ∵ ∵ ∵ 例1 求 解 令 则 当 所以 例2 求证 证 1. 例3 1. 则 注意 解 ∵ 例4 解 例5 解 例6 设当 时 ~ 求 解 因为 ~ 所以有 即 证 必要性 充分性 意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 二、等价无穷小的性质 无穷小 例如, 2.设在某个过程中， 均为无穷小，则 （自反性） （对称性） （传递性） 3. 常用等价无穷小: 三、等价无穷小代换 定理２(等价无穷小代换定理) 证 说明： 即定理条件满足时，可以只代换分子或分母. 3. 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限． 即定理条件满足时，可以代换积中因式的无穷小. 说明： 即定理条件满足时，可以只代换分子或分母. 解 3.若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积， 任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换， 而不会改变原式 则可对其中的 的极限． 原式 例7 求极限的又一种好方法, 注意适用条件. 例8 求 例9求 解 ∵ 解 ∵ 例10. 求 解: 例11 解 例12 解 解 错 不能滥用等价无穷小代换. 切记：只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换. 注意