2–复平面上点集.ppt

一. 复平面上的曲线 §1.2 复变函数 二.平面点集的几个基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 三.复变函数的概念 一. 复平面上的曲线 1.复平面上的参数曲线 是实参变量实值函数， 它们确定实平面上的一参数曲线C； 称 是曲线C的复表示式，也称为复平面上的参数曲线C ， 及 分别称为 C的端点 。 若 在 上连续可微，且 则称曲线C为光滑曲线。 §1.2 复平面上的点集 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 ·若有限段光滑曲线C1, C2, …, C n依次相接所得的连续曲线C ·若 当 成立时， 则称 为曲线C的一个重合点或重点。 称为分段光滑曲线，记为C= C1+C2+ …+ Cn 。 ·若曲线C是无重点的连续曲线，则称 C 为简单曲线, 也称为 Jordan(约当)曲线； ·称 的简单曲线为简单闭曲线或 Jordan 闭曲线。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 1.曲线的表示 (1) 参数方程 实形式 复形式 例1.2.1 x y O a 当 时, 有 ， 所以曲线 C 有重点 。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 (2)直角坐标方程 实形式 复形式 解 令 ，则将 代入双曲线方程得 化简得双曲线的复方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.2.2 求其复方程。 设双曲线方程 珞珈学院 例1.2.3 求以z0为圆心,以R为半径的圆周的曲线方程。 （1）直角坐标方程： 实方程： 复方程： （2）参数方程 实方程： 复方程： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 Jordan定理 平面上的任意一条简单闭曲线将平面分成两个无公共点 且共边界的区域。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 平面上的任意一条两端无限延伸的简单曲线将平面分成 两个无公共点且共边界的区域。 二.平面点集的几个基本概念 1.邻域，空心邻域 对于 所确定的平面点集,称为以z0为中心的δ－邻域或邻域； 所确定的平面点集,称为以 z0为中心的 δ－空心邻域 或 空心邻域。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 2.内点,外点 对任意 z0属于D,若存在N(z0 ,δ),使该邻域内的所有点 都属于D, 则称 z0是D的内点。 外点 D 内点 若存在N (z0 ,δ) ，使该邻域内的所有 点都不属于D,则称 z0是D的外点。 3.边界点,边界 已知点z属于C，若点z的任何邻 域中都包含 D中的点及不属于D 的点,则称 z 是D的边界点。 z 边界点 D的全体边界点集称为D的边界。记为 。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 5.连通集 设D是复平面上的点集,P1、P2 是D中任意两点，若 可以用以P1、P2为端点且位于D内的折线连接起来， 则称集合D为连通集。 4.开集 若平面点集D内的每一点都是内点，则称D是开集。 内点 6.区域 若D是连通的开集, 则称 D是区域。 区域D与它的边界 一起构成 闭区域。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 7.单连通区域，多连通区域 设D是区域或闭区域, 若在D内任作一条简单闭曲线, 单连通区域 它的内部区域总是含于D内部, 则称D是单连通区域； 否则称D是多连通区域。 多连通区域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 8.有界集,无界集 若存在 , 对任意 z ∈D,均有 则称D是有界集；否则是无界集。 O x y R 有界区域 O x y 无界区域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 例1.2.4 指出不等式 所确定的区域, 并作图; 说明