3.1补充–线性方程组.ppt

作业 P161 20（2） 23（2） 24 * * 线性方程组的几种形式 含m个方程n个未知量的线性方程组一般形式 方程组的矩阵形式为 Ax=b 其中 向量形式为 其中 §3.5 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 1. 齐次线性方程组解的性质 性质1 若 是齐次线性方程组(1)的两个解，则 也 是它的解 . 齐次线性方程组 Ax=0 (1) 证明 因为 是(1)的解,因此 于是 即 也是方程组(1)的解. 从而齐次线性方程组若有非零解，则它就有无穷多个解. 若 是齐次线性方程组(1)的解，则其线性组合 也是其解. 为任意常数. 由上述性质，易得： 性质2若 是齐次线性方程组(1)的解，则 也是 它的解(k为常数). 证明 由 得 即 也是方程组(1)的解. 定义3.10 如果 是齐次线性方程组(1)的解向量 组中的一个极大无关组，则称 为方程组(1) 的一个基础解系. 注：基础解系不唯一. 当一个齐次线性方程组只有零解时，该方程组没有基础 解系，而当一个齐次线性方程组有非零解时，是否一定 有基础解系？如果有的话，怎样去求基础解系？ 定理3.13 如果齐次线性方程组(1)的系数矩阵 A的秩 r(A)=rn, 则它的基础解系一定存在，且每个基 础解系中恰好有n-r个解. 证明过程给出了求基础解系和通解的方法. 证明 因为r(A)=rn，对A实施初等行变换可化为下述 形式 与方程组Ax=0同解的方程组为 其中 为自由未知量. 对个自由未知量 分别取 则可得原方程组的n-r个解: 下面证明 是方程组Ax=0的一个基础解系. 首先证明 线性无关 设 则K有n-r阶子式 即r(K)=n-r. 所以 线性无关. 其次再证明方程组Ax=0的任意一个解 都是 线性组合. 因为 所以 即 是 的线性组合. 所以是方程组Ax=0的一个基础解系, 因此方程组Ax=0 的全部解为 ( 为任意常数) 定理的证明过程指出了求齐次线性方程组的基础解系 的方法. 例1. 求如下齐次线性方程组的一个基础解系. 例2. 用基础解系表示如下线性方程组的全部解. 注意：当齐次方程组Ax=0的系数矩阵A的秩r(A)=n时,方程 组不存在基础解系，方程组Ax=0仅有零解； 当 r(A)=0( 即A为零矩阵)时，任意n个线性无关的n 维列向量均为方程组Ax=0的基础解系. 例3 设矩阵 满足AB=O, 并且r(A)=r. 试证: r(B)?n-r 结论:若AB=O, 则r(A)+r(B) ?n 二、非齐次线性方程组解的结构 定义 非齐次线性方程组Ax=b,当b=o, 得到的齐次线性方程组Ax=0,称为非齐次线性方程组Ax=b的导出组. 非齐次线性方程组Ax=b的解与它导出组Ax=0,的解之间 有下列性质: (1)如果 是非齐次线性方程组Ax=b的一个解, 是 其导出组的一个解,则 也是方程组Ax=b的一个解 因为 则 即 也是非齐次线性方程组Ax=b的解. (2) 如果 是非齐次线性方程组的两个解, 则 是其导出组的解. 定理3.14 如果 是非齐次线性方程组的一个解, 是 其导出组的全部解, 则 是非齐次线性 方程组的全部解. 因为 则 即 是其导出组Ax=0的解. 证明: 由性质(1)知, 加上其导出组的一个解还是非 齐次线性方程组的一个解. 所以只需证明非齐次线性方程组的任一个解 一定是 与其导出组某一解 的和. 取 由性质(1)知, 是导出组的一个解. 于是 即非齐次线性方程组的任一个解均为其一个解