3–1–5集合和关系.ppt

3-4.5 推广：n维笛卡尔积 定义［ n维笛卡尔积］： A1?A2?…?An = { x1,x2,…,xn | x1?A1?x2?A2?…?xn ?An } A?A?…?A = An |Ai|=ni , i =1,2,…,n ? |A1?A2?…?An| = n1?n2?…?nn. n维笛卡尔积性质与2维笛卡尔积类似. 作业： P104 (1) b) (2) (5) 3-5关系及其表示 3-5.1关系的概念及记号 兄弟关系、长幼关系、同学关系、邻居关系，上下级关系等。 在数学上有大于关系、小于关系，整除关系。 例如：“3小于5”，“x大于y”， “点a在b与c之间”。 我们又知道序偶可以表达两个客体、三个客体或n个客体之间的联系，因此用序偶表达这个概念是非常自然的。 例如：火车票与座位之间有对号关系。 设X表示火车票的集合，Y表示座位的集合， 则对于任意的 x?X 和 y ?Y， 必定有 x 与y有“对号”关系 x 与y没有“对号”关系。二者之一 令R表示“对号”关系， 则上述问题可以表示为 xRy 或 xRy 。 亦可表示为x,y ? R 或x,y ? R， 因此我们看到对号关系是序偶的集合。 定义［关系］： 二元关系(binary relation) ， 简称关系，任一序偶的集合即确定了一个二元关系R， R中任一序偶x,y 可记为 x,y?R或xRy。 不在R中的任一序偶x,y 可记为x,y? R 或xRy 例1: 在实数中关系“≥”可记作 “≥ ”={x,y|x,y是实数且x ≥ y}。 例2: R1={1,2,?,?,a,b} R1是二元关系. 例3: A={a,b,1,2,3,a,1} A不是关系. ?二元关系的记号： 设R是二元关系, 则x,y?R ? x与y具有R关系 ? xRy。 对比: xRy (中缀(infix)记号) x,y?R (后缀(suffix)记号) R(x,y) (前缀(prefix)记号) 例如: 215 ? (2,15) ? 2,15?。 1,2 ? R ? 1 R 2 , 5,4?? R ? 5 R 4。 A到B的二元关系 也可定义［关系］为：设有任意两个集合A和B，直积A?B的子集R称为A到B的二元关系。 R是A到B的二元关系? R?A?B ? R?P (A?B)（幂集） 若|A|=m, |B|=n, 则|A?B|= mn , 故|P (A?B)|=2mn，即A到B不同的二元关系共有2mn个 A到B的二元关系(举例) 例: 设 A={a1,a2}, B={b}, 则A到B的二元关系共有22×1=4个: R1=?, R2={a1,b}, R3={a2,b}, R4={a1,b,a2,b} B到A的二元关系也有4个: R5=?, R6={b,a1}, R7={b,a2}, R8={b,a1,b,a2}。  A上的二元关系 定义［ A上的二元关系］: 是A?A的任意子集。 R是A上的二元关系 ? R?A?A ? R?P (A?A)。 若|A|=m, 则|A?A|=m2, 故|P (A?A)|= 2 m2 ，即A上不同的二元关系共有2 m2个。 A上的二元关系(举例) 例1: 设 A={a1,a2}, 则A上的二元关系共有16个: R1 = ?, R2 = {a1,a1},  R3 = {a1,a2}, R4 = {a2,a1}, R5 = {a2,a2}, R6 = { a1,a1, a1,a2 },  R7 = { a1,a1, a2,a1 }, R8 = { a1,a1, a2,a2 }, R9 = { a1,a2, a2,a1 }, R10 = { a1,a2, a2,a2 }, R11 = { a2,a1, a2,a2