3–1–3空间向量的数量积运算.ppt

第三章　 系列丛书 进入导航 第三章　空间向量与立体几何 进入导航 第三章　空间向量与立体几何 RJA版·数学·选修2-1 进入导航 RJA版·数学·选修2-1 第三章·3.1 · 3.1.3 空间向量与立体几何 3．1　空间向量及其运算 3．1.3　空间向量的数量积运算 巩固篇 课时作业 预习篇 课堂篇 * * 系列丛书 进入导航 第三章　空间向量与立体几何 进入导航 第三章　空间向量与立体几何 RJA版·数学·选修2-1 进入导航 RJA版·数学·选修2-1 第三章·3.1 · 3.1.3 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题. 学习目标 重点：空间向量的数量积运算；难点：利用空间向量解决夹角、距离等问题. 重点难点 预习篇01 新知导学 1．定义： (1)条件：a，b是空间的两个向量． (2)作法：在空间任取一点O，作＝a，＝b. (3)结论：叫做向量a，b的夹角，记作a，b． 空间向量的夹角 非零 ∠AOB 空间向量的数量积 1．空间向量的数量积 (1)定义： 2．空间向量数量积的性质 2．类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积． 3．对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？ 提示：不能，若a，b，c是非零向量，则a·b＝a·c得到a·(b－c)＝0，即可能有a(b－c)成立． 4．对于向量a，b，若a·b＝k，能不能写成a＝？ 提示：不能，向量没有除法，无意义． 5．为什么(a·b)c＝a(b·c)不一定成立？ 提示：由定义得(a·b)c＝(|a||b|cosa，b)c，即(a·b)c＝λ1c；a(b·c)＝a(|b||c|cosb，c)，即a(b·c)＝λ2a， 因此，(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不一定成立． 1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量的夹角，在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到与另一个向量的起点相同． 2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可． 3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算． 课堂篇02 合作探究 【例1】　如下图所示，已知正三棱锥A—BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点．求下列向量的数量积． (1)·；(2)·；(3)·；(4)·. 空间向量的数量积运算 【解】　(1)由题知||＝||＝a，且〈，〉＝60°，·＝a·a·cos60°＝a2. (2)||＝a，||＝a，且〈，〉＝60°. ·＝a·a·cos60°＝a2. (3)||＝a，||＝a，又，〈，〉＝180°. ·＝a·a·cos180°＝－a2. (4)||＝a，||＝a，又，〈，〉＝〈，〉＝60°. ·＝a·a·cos60°＝a2. 通法提炼 在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角. 已知正四面体OABC的棱长为1. 求：(1)·；(2)(＋)·(＋)． 解：如图所示， (1)·＝||||cosAOB＝1×1×cos60°＝； (2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1. 【例2】　已知点O是正ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值． 【分析】　利用两向量的夹角公式cos〈a，b〉＝，注意两异面直线所成的角与两向量的夹角有所区别． 利用数量积求夹角 【解】　如图所示，设＝a，＝b，＝c， 则a·b＝b·c＝c·a＝， |a|＝|b|＝|c|＝1， ＝(a＋b)，＝c－b， ·＝(a＋b)·(c－b) ＝(a·c＋b·c－a·b－|b|2) ＝(＋－－1)＝－， cos〈，〉＝