4.4线性方程组结构.ppt

齐次线性方程组解的性质： * 4.4 线性方程组解的结构 4.4.1. 齐次线性方程组 4.4.2. 非齐次线性方程组 4.4.1 齐次线性方程组 即 AX = 0 定理 设 A = (?1, ?2, …, ?n)，则下列命题等价： 1o ?1, ?2, …, ?n 线性相关; 2o AX = 0有非零解; 3o （无关） （只有零解） AX = 0 的解向量的线性组合仍为 AX = 0的解. 证 A(k1?1+ k2?2+ …+ ks?s) = A(k1?1) + A(k2?2)+ …+ A(ks?s ) = k1A?1 + k2A?2 + …+ ksA?s = k1 0 + k2 0 + …+ ks0 = 0. 性质 若 ?1, ?2, …, ?s 为 AX = 0 的解，则 k1?1+ k2?2+ …+ ks?s 也是 AX = 0 的解. 对于加法和数乘运算是封闭的， 一个齐次方程组的全体解向量组成的集合： W = { X?Rn | AX = 0} 因此为Rn 的子空间, W 称为 AX = 0 的 解空间. W的任一组基称为 AX = 0的一个基础解系 ?1, ?2, …, ?s 是 AX = 0 的基础解系的充要条件： 2o AX = 0 的任一解向量均可由 ?1, ?2, …, ?s 线性表出； 1o ?1, ?2, …, ?s 是 AX = 0 的一组解; 3o ?1, ?2, …, ?s 线性无关. AX = 0 仅有 0 解时有基础解系吗？ 齐次线性方程组的通解 例 求齐次线性方程组 解 由此即得 的通解. 是基础解系 线性方程组基础解系的求法 设齐次线性方程组 AX = 0，R(A) = r， 现对 取下列 组数： 得 从而求得原方程组的 个解： 则 是齐次线性方程组的基础解系． 解空间的基础解系不是唯一的. 注: 定理 设齐次线性方程组 AX = 0 的系数矩阵的秩R(A) = r n，则方程组 AX = 0 有基础解系且基础解系所含向量个数为n – r，即 dimW = n – r，这里n为方程组未知数个数. 解线性方程组 解 例 为基础解系 得 故原方程组的通解为 例 设 分析 求一个4×2的矩阵B,使AB=0,且R(B)=2. 问题转为求齐次方程 的2个线性无关的解 解 解齐次方程 令 即为2个线性无关的解， 为基础解系 即可. 　 与 AX = 0 基础解系等价的线性无关的向量组也是该方程组的基础解系． 证 证明： 证明： 例： 4.4.2 非齐次线性方程组 向量表示 何时无解? 何时有唯一解? 何时有无穷多解? 定理 设 A = (?1, ?2, …, ?n)，则下列命题等价： 1o b?L(?1, ?2, …, ?n); 2o AX = b 有解; 3o 证明 A(?1 - ?2 ) 性质1 设?1 , ?2 为 AX = b 的解，则?1 - ?2为其导 出组的解. = A?1 - A?2 = b – b = 0 定义 称 AX = 0 为 AX = b 的导出组. 非齐次线性方程组解的性质： 证明 A(? + ? ) 性质2 设? 为 AX = b 的解，? 为 AX = 0的解， 则 ? + ? 为 AX = b 的解. = A? + A ? = b + 0 = b 非齐次方程组的全体解向量组成的集合， 对于加法和数乘运算不是封闭的， 因此不是一个向量空间 注 AX = b 的任一解称为AX = b 的特解 定义 性质3 设 ?0 为 AX = b 的一个特解, 则 AX = b 的任一解? 可表为 ? = ?0 + ? , (? 为 AX = 0 的一个解) 证明 ? = ?0 + (? - ?0 ) 为AX = 0的解，设为? (b) 为导出组 AX=0 的基础解系， 则非齐次方程组 AX=b 的任意解 X 有 (a)设 为非齐次方程组AX=b的任意一个特解 所以非齐次方程组的解的结构为： 导出组的通解 + 非齐次方程组的一个特解 求解方程组 解 例 例 设有线性方程组 解 (1) ? = 1时， 有无穷多解 得同解方程组 x1 = 1- x2 – x3 非齐次特解： ?0 =(1, 0, 0)T 原方程组通解：X = ?0 + k1 ? 1 + k2 ? 2 , k1 , k2 ?R 导出组基础解系： ? 1 =(-1, 1, 0)T, ? 2 =(-1, 0, 1)T