4.【苏教版高考数学复习导航〔第一轮〕理】空间向量的概念及运算.ppt

◆考纲泛读◆ ①了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. ②理解空间向量的线性运算及其坐标表示. ③理解空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. ④理解直线的方向向量与平面的法向量. ⑤能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. ⑥能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理,能用向量方法解决直线与直线、直线与平面所成的角及平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用. ◆高考展望◆ 空间向量是求解立体几何问题的重要工具，也是高考的热点.高考对空间向量的考查是以解答题的形式呈现的，尤其注重在给出的几何体中，建立适当的空间直角坐标系.因此，应熟练掌握空间向量的概念及运算，特别是坐标运算，掌握用向量法解决垂直、平行的论证及探究性问题，掌握空间角、距离的计算程序. 用已知向量表示未知向量，要结合图形，以图形为指导是解题的关键．根据图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量．对照目标，对不符合目标要求的向量进行适当调整，直到所有向量都符合目标要求． 向量数量积定义、定义的变形式和基本性质是求向量模和夹角的计算公式，要理解记忆并且正确运用． 在空间直角坐标 系中，BC=2，原点O是 BC的中点, 设点A( , , 0 )，点D在平面yOz内， 且∠BDC=90°,∠DCB =30°. (1)求向量OD的坐标； (2)设向量AD与BC的夹角为θ, 求cosθ的值. (1)如图，过D作DE⊥BC，垂足为E. 在△BDC中，由∠BDC=90°,∠DCB=30°, BC=2， 得BD=1，CD= . 即向量OD= . (2)因为OA= ，OB=(0 , -1, 0 ) , OC=(0 , 1 , 0) , 所以AD=OD -OA= ， BC=OC –OB = (0 , 2 , 0). 故 . 向量的坐标运算为向量的运算及夹角、距离的研究提供了运算基础，关键是确定点和向量的坐标.本题(1)利用向量的坐标的定义，求D点的坐标；(2)利用数向量的量积，求两向量的夹角. 已知空间三点A(-2 , 0 , 2)、B(-1 , 1 , 2)、C(-3 , 0 , 4), 设 =a , =b. (1)求a , b的夹角θ的余弦值； (2)若向量(ka+b)⊥(ka -2b)，求 k 的值. (1)因为a=AB=(-1 , 1 ，2) - (-2 , 0 , 2) = (1 , 1 , 0), b=AC=(-3 , 0 , 4) - (-2 , 0 , 2) = (-1 , 0 , 2), 所以 . (2)因为ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4), 所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4) =(k-1)(k+2)+k2-8=0, 即2k2+k-10=0，解得k= 或k=2. 1.有下列命题： ①若向量a , b与空间任意向量不能构成基底，则a∥b; ②若a∥b , b∥c，则a∥c; ③若OA , OB , OC是空间的一个基底， 且OD= OA+ OB+ OC，则A，B，C， D四点共线； ④若向量 a+b , b+c , c+a 是空间的一个基底，则向量 a , b , c 也是空间的一个基底. 其中正确命题有 个. 4.三棱锥O-ABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN. 设OA=a, OB=b, OC=c，试用a , b , c表示向量OG. OG=OM+MG