4–1微分中值定理.ppt

柯西(1789 – 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , * 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 四、小结 三、柯西中值定理 一、罗尔定理 几何解释: 例如, 证 例1 证: 由介值定理, 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 二、拉格朗日中值定理 几何解释: 证 分析: 弦AB方程为 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 推论 例2 证 例3 证 由上式得 三、柯西中值定理 几何解释: 证 作辅助函数 例4 证 分析: 结论可变形为 四、小结 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系； 注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤. 费马(1601 – 1665) 法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出 的费马大定理: 至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 , 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的. 拉格朗日 (1736 – 1813) 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一. * 罗尔（Rolle）定理 如果函数在闭区间 上连续,在开区间内可导,且在区间端点的函数值相等，即,那末在内至少有一点,使得函数在该点的导数等于零， 即 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)(1)在闭区间 上连续,(2)在开区间内可导,那末在内至少有一点，使等式 成立. 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点,使等式 成立.