4–4泰勒公式的余项.ppt

上页 下页 铃 结束 返回 首页 定理 1 设函数f(x)在(a? b)内有(n?1)的阶导数,则对(a? b) 中任意取定的一点x0及任意的x?(a, b) ? 有 其中 (x 介于x0与x之间)? 4-4 关于泰勒公式的余项 而Rn(x)的表达式称为拉格朗日型余项? 注意 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为带皮亚诺(Peano) 余项 的泰勒公式. 证 由柯西中值定理 故得到 即 特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 误差估计 泰勒公式的误差 有下列估计公式： 则马克劳林为： 在泰勒公式中若取 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 由此得近似公式 初等函数带拉格朗日余项的几个泰勒公式: 习题 4-3 1. (2),(5);2.(1);3.(1);4.(1),(2);6. 已知 补例 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 令 x = 1 , 得 由于 欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 的麦克劳林公式为 解 其误差 例1 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围. 补例 用近似公式 计算 cos x 的近似值, 使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围. 解 近似公式的误差 令 解得 即当 时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 . 上页 下页 铃 结束 返回 首页