4章–2斯图姆刘维尔特征值问题.ppt

北京科技大学数力系----魏培君 第4章 直角坐标系下的分离变量法 4.1 有界弦的自由振动 * * 4.2 有界杆的热传导 4.3 斯图姆----刘维尔特征值问题 4.4 级数解的收敛性 4.5 非齐次定解问题 4.3 斯图姆—刘维尔（Sturm—Louville） 特征值问题 ， ， 1）当 ， ， 2）当 贝塞尔（Bessel）方程 3）当 ， ， 勒让德（Legendre）方程 4）当 ， ， m阶连带勒让德方程 5）当 ， ， 阶的球贝塞尔方程 变系数的二阶常微分方程求解 递推关系式： 正则奇点 情况 和 在点 处是奇异的 指数方程 罗朗级数 应有2个解 常型端点 周期性条件 I,II,III类 奇型端点 微分算子 是自共轭算子 证明： 设 满足与端点类型相匹配的边界条件 （分部积分） 这里仅考虑一种情况：端点 为常型 ，端点 为奇型，即 证毕 和 不能同时为零 满足自共轭条件时， 当微分算子 特征值问题将具有如下性质： 性质1 特征值问题的特征值 为实数（ ），且非负 性质2 和 对应不同特征值 的特征函数 和 正交 性质3 特征值是分立的，即 形成可数集， 性质4 问题的特征值是非简并的。 即对应一个特征值只可能有一个特征函数 性质5 特征函数族 在函数空间 中构成完备正交函数系 证明： 性质2 （1） （2） （3） （3）-（2） 证毕 4.4 级数解的收敛性 标准正交函数系 的近似表达式 误差 问题 选择 使 最小 利用函数系的正交性 令 当 最小 由于 Bessel不等式 当 Parseval等式 完备性的定义 设给定一个标准正交函数系，若存在一个不恒等于零的函数， 与标准正交函数系中每个函数都正交，则称这个标准函数系 是不完备的。反之，称之为完备正交函数系。 不完备 完备 定理 标准正交函数系完备的充分必要条件是：对任何平方可积函数 ，它的Bessel不等式成为Parseval等式 级数的收敛性 定义：记 。若 处收敛于 则称级数在点 这种收敛是对D中的每一个点进行考虑的，故称为逐点收敛。 收敛点的全体所组成的集D称为它的收敛域。