5.Matlab在计算方法中应用.ppt

Matlab在计算方法中的应用 插值与拟合 积分与微分 求解线型方程组 求解非线性方程组 常微分方程的解法 1.插值与拟合 Lagrange插值 %lagrange insert function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end end 分段线型插值： 所谓分段线型插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线 yi=interp1(x,y,xi) 对节点向量（x,y）插值，求xi对应的yi值 yi=interp1(y,xi) 默认x=1:n，n为向量y的长度值 yi=interp1(x,y,xi，’method’) method指定插值的算法，默认为线型算法，可取值为：‘nearest’－线性最近项插值；‘linear’－线性插值；‘spline’－立方样条插值；‘cubic’－立方插值。 Hermite插值 要求插值点上函数值和导数值都相等 xi, yi, yi’分别为插值节点、对应函数值和对应一阶倒数值。 自编程序函数：y=hermite(x0,y0,y1,0.34); 三次样条插值 设区间[a,b]上给定的有关划分a=x0x1…xn=b, S为[a,b]区间上满足下面条件的函数： S在[a,b] 上二阶导数连续 S在每个插值子区间[xi,xi+1]上是三阶多项式 则称S为关于划分的有关三次样条函数。 常用的三次样条函数的边界条件有三种类型 I型，S’(x0)=f’0, S’(xn)=f’n; II型，S’’(x0)=f’’0, S’’(xn)=f’’n;特殊情况为都等于0； III型， Sj(x0)= Sj(xn)，j=0,1,2,…; 周期样条函数。 自编II型程序函数如下：s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) 最小二乘拟合 利用polyfit进行多项式拟合 x=[0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0]; y=[1.75 2.45 3.81 4.80 7.00 8.60]; a=polyfit(x,y,2) a = 0.5614 0.8287 1.1560 x1=[0.5:0.05:3.0]; y1=a(3)+a(2)*x1+a(1)*x1.*x1; plot(x1,y1,-r) hold on plot(x,y,*) 利用常用的矩阵除法解决复杂型函数的拟合 例：用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式，使它与下表数据拟合 2.积分与微分 Newton-Cotes系列数值求积公式 矩形求积公式 cumsum(X) 梯形求积公式 trapz(X,Y) 自适应simpson法求积 quad(‘F’,a,b,…) 自适应的cotes法求积公式 quad8(‘F’,a,b,…) Gauss求积公式 Romberg求积公式 Monte－Carlo方法 以上均可自编程序完成。 符号积分 int symsum 微分和差分 数值微分与差分 diff（X,N,DIM） 符号微分与差分 diff（S，’v’，n） 梯度函数 [fx,fy]=gradient(F,HX,HY) 多元函数的导数 jacobian(f,v) 3.求解线型方程组 一般分为两种 直接法：通过矩阵的变形、消去直接求解，主要用于低阶稠密矩阵 叠代法：利用某种极限过程去逐渐逼近方程组精确解，主要用于大型稀疏矩阵 直接法： 矩阵除法：x=a\b 线性方程组直接求解分析 LU分解： [l,u]=lu(a) Cholesky分解：l=chol(a) 奇异值分解：[U,S,V] = SVD(X) 上三角变换：triu 对角变换：diag 下三角变换：tril 跌代解法的几种形式 Jacobi跌代法 gauss-seidel跌代法 SOR（逐次超松弛跌代法） 两步跌代法 均可自己编程完成 线性方程组的解析解法 linsolve solve vpa 4.求解非线性方程组 非线性方程的解法 二分法 不动点叠代法 Newton叠代（切线叠代）法 割线法 可自行编制函数 方程组解法 不动点跌代 Newton法 broyden法（秩1的拟newton法） 非线性方程（组）的解析解法 f